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1、第七章 最优控制（Optimal Control）最优化（Optimization）： 生产过程的控制，企业的生产调度，对资金、材料、设备的分配，经 济政策的制定等都与最优化有关。最优控制： 通常是针对控制系统本身而言的，目的是使一个机组、一台设备、或 一个生产过程实现局部最优。7-1 概述1最优分配问题：甲1元仓库（水泥）运费（元/包）工地（需要水泥）B（600 包）C （1200 包） A（900 包）问应怎样发送这些水泥，才能使运费最省？ 设：从甲仓库运往A、B、C工地的水泥数分别为x、x、x ；1 2 3从乙仓库运往 A、 B、 C 工地的水泥数分别为 x 、 x 、 x456目标函数
2、f （x）（总运费）二 x + 2 x + 4 x + 4 x + 5 x + 9 x123456最优化的任务：确定x = lx x x123x x x 1的值，使f C）为最小。456约束条件：x + x + x 15001 23x + x + x 1800456 x + x = 90014x + x = 6002 5x + x = 120036该问题称为具有不等式约束条件的 线性最优化问题，属于静态最优 化问题，变量x与时间无关2动态最优化问题 动态最优化问题：在最优控制系统中，受控对象是一个动态系统，所有变 量都是时间的函数。目标函数：是时间函数的函数，称为泛函数(简称泛函)例：目标泛函
3、J = ( lLQ u (t) t Ltt0基本约束条件(受控对象的状态方程)：x(t)= fL(t),utJ标量L标量函数x(t)- n维状态矢量u(t ) r 维控制矢量f -n维矢量函数最优控制问题：在满足约束条件下，寻求最优控制函数u(t)，使目标泛函 J 取极值(最小或最大)，即 J = min(max )。3求解动态最优化问题的方法古典变分法、极小(大)值原理、动态规划法7-2 研究最优控制的前提条件1234给出受控系统的动态描述，即状态方程x C）= f LC） u Q11明确控制作用域|控制集：U = u（t） C ） 叫（x，“k申（x,u） 0（j二1,2,m;m r）u（
4、t）满足的约束条件j容许控制：uQw U明确始端条件固定始端： xCt ）给定0自由始端： x（t ）任意 可变始端：x（t ）w0始端集：0 = !（t ）0 oo0 1 p Lx 0 丿 J=oj0p LC ）二0（j = 1,2,m;m n）x（t ）必须满足的约束条件 j0自由终端：t给定、xC ）任意可变终端：5Ct )f,L C二1,2,m;m n)- x()必须满足的约束条件xY丿w 0目标集：0 0,若 f (* ) 0du2即下列海赛矩阵为正定矩阵d2 fd 2 fd 2 fd 2 fdu 2 d 2 fdu du12 d 2 fdu du1n d 2 fV 2 f = Ju
5、d u 2=du du2 1du 22du du2nd 2 fd 2 fd 2 fdu dun1du dun2du 2n例：设 J = f (x)= 2x2 + 5x + x2 + 2x x + 2x x 6x + 3，试求 f 的极值2 33 12点极其极值。解：由Vfx=0dx1fdx2fdx3故极值点为 x4 x + 2 x1310 x + 2 x 一 6232 x + 2 x + 2 x321=0 n x = 1, x = 1, x = 23又V 2 f =空xdx 2d 2 fdx2d 2 fdx dx21d 2 fdx dx31d 2 fdx dx12d 2 fdx2d 2 fdx
6、 dx32d 2 fdx dx13d 2 fdx dx23d 2 fdx23*是正定的。l1 1所以 x*-2丄为极小值点,x=xmin01027-3-3 具有等式约束条件的极值具有等式约束条件的极值问题 等效变换 无约束条件的极值问题 例如：用一定面积的铁皮作罐头桶，要求罐头桶容积为最大的问题。设罐头桶的几何尺寸：高为1,半径为r，则容积为：J 二 v(r, 1 )=兀r21约束条件：A ：给定铁皮面积(常数)1嵌入法(消元法)约束条件解出一变量，代入目标函数无约束条件的极值问题 2拉格朗日乘子法设连续可微的目标函数J = f (x, u )约束条件g (x, u )= 0其中xn维列矢量，
7、x = x x12u r 维列矢量 ， u = uu12g - n维列矢量函数，g = g1g2gln构造拉格朗日函数H = J +九Tg = f(x,u)+Mg(x,u)其中九为与g同维的列矢量目标函数存在极值的必要条件：rdHdxdx (dx 丿TX=0dHdudu (du 丿dHd九g(x,u)= 0其中：Qg1-Tdg 1- dxdxQg2dg：dx=dx:2dgdg1-ndx _dxn 丫4丿dxdx2dxn7-4 泛函及其极值变分法7-4-1 变分法的基本概念1泛函的定义 泛函是函数的函数J = J y (x)J 因变量； y(x)- -宗量函数例：求弧长的变分问题弧长的微分：dl
8、 2 = dx2 + dy 2dldx(dydx丿= 0，则称泛函 J y (x)在 y (x)曲线上 0 0 0 达到极小值。反之，若 A J = J y (x)- J y (x ) 0，贝U称泛函 J y (x)在 y (x)曲线上 00 达到极大值。如果对于定义域中的一切x，都成立|y(x)-y0(x)s (小的正量), 则称函数y(x)与y (x)有零阶接近度；0若各阶导数也很接近，即满足y(k)(x)- y(k)(x) s，则称函数y(x)与y (x )有k阶接近度。0接近度阶次越高，表明函数的接近程度越好。3泛函的变分 泛函的增量：AJ 二 Jy (x)+6y(x) Jy (x)L
9、 L【y(x)y(x)1+ R【y(x)y(x)1 二6y 0的线性连续泛函+ 6y (x的高阶无穷小项6y(x)= y(x) y (x)宗量 y(x)的变分定义：6J = Ly Q 6歹6)泛函的变分(泛函增量的线性主部)或6八存y (x)+a6y (x=04泛函极值定理若可微泛函Jy(x)在y (x)上达到极值，则在y二y (x)上的变分等于00零，即6 J = 0 o7-4-2 泛函极值的必要条件欧拉方程定理：设曲线xC)的始点为x(t )=x，终点为x (t )= x ，则使性能泛函0 0 f f取极值的必要条件是：x(t)为二阶微分方程 学d生=0或ox dt oxL L L x L
10、 x二0 (欧拉方程)的解。xxtxxxx其中x(t)应有连续的二阶导数；L(x,x,t)至少应两次连续可微。证明：见课本 P 页248泛函增量 AJ = j6x +6x + R dt_ OxOx_t0泛函的变分6J (泛函增量AJ的线性主部)6J = fOLOL6x + 6xdtOLd OL6xdt + OL 6x tf = 0OxOxOxdt OxOxt0泛函J(x)取极值的必要条件是:d弘=0 （欧拉方程） dx dt dx哲5x tf = 0（横截条件）laxto1对于固定端点问题-aL二o（欧拉方程） axdt axz xx（t ）=x , x（ ）= x（边界条件）00ff2对于自由端点问题aL - d aL = o（欧拉方程）ax dt ax
