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1、精选优质文档-倾情为你奉上清华大学第二学期期末考试模拟试卷一填空题（本题满分30分，共有10道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中 1. 设向量的终点坐标为，它在轴、轴、轴上的投影依次为、和，则该向量的起点的坐标为_ 2. 设、都是单位向量，且满足，则_ 3. 设，则_ 4. 设，则_ 5. 某工厂的生产函数是，已知. 当时，；（2）当时，劳力的边际生产率和投资的边际生产率为，。如果工厂计划扩大投入到，则产量的近似增量为_ 6. 交换积分顺序，有_ 7. 设级数收敛，且，则级数_ 8. 级数在满足_条件下收敛 9. 微分方程的通解为_ 10. 对于微分方程，利用待定系数法求其特解时，应
2、设其特解_ （只需列出特解形式，不必具体求出系数） 答案： 1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. 单位； 6. ； 7. ； 8. ； 9. ； 10. 二（本题满分8分） 求过点，且与两平面和平行的直线方程 解： 所求直线过点，设其方向向量为， 由于平行于平面和，所以其方向向量同时垂直于向量与 因此，方向向量可取为 ， 从而所求直线方程为三（本题满分8分） 设函数，其中是常数，函数具有连续的一阶偏导数试求 解： 所以， 四（本题满分8分） 计算二重积分的值 解： 作极坐标变换：，则有 五（本题满分8分） 某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为台和台，成本函数为 （万元）若市场调查分析
3、，共需两种机床8台，求如何安排生产，总成本最少？最小成本为多少？ 解： 即求成本函数在条件下的最小值 构造辅助函数 解方程组 解得 这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产台和台时，总成本最小，最小成本为： （万）六（本题满分10分） . 将展开为的幂级数； . 指出该幂级数的收敛域； . 求级数的和 解： . 因为 ，且，所以， 而 所以， . 幂级数的收敛域为 . 令，则有 七（本题满分10分） 求微分方程的通解 解： 该方程为一阶线性微分方程因此， 代入一阶线性微分方程的求解公式，有 所以，原方程的通解为 八（本题满分10分） 讨论级数的绝对收敛性与条件收敛性 解： . 因为级数为交错级数，由于， 所以数列单调减少而且 因此由Leibniz判别法知，级数收敛 . 讨论级数其前项部分和为 所以，级数发散 综上所述知，级数条件收敛九（本题满分8分） 设函数具有二阶连续的导函数，而且满足方程，试求函数 解： 设，则有 ，所以， 代入方程 ，得，即，由此得微分方程 解此二阶线性微分方程，得其通解为 （与为任意常数）此即为所求函数专心-专注-专业
