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1、微积分初步期末复习典型例题一、函数、极限与连续 （一）考核要求1.了解常量和变量的概念；理解函数的概念；了解初等函数和分段函数的概念.熟练掌握求函数的定义域、函数值的方法；掌握将复合函数分解成较简单函数的方法.2.了解极限概念，会求简单极限.3.了解函数连续的概念，会判断函数的连续性，并会求函数的间断点.（二）典型例题1填空题（1）函数的定义域是 答案：且.（2）函数的定义域是答案：（3）函数，则 答案：（4）若函数在处连续，则 答案：（5）函数，则 答案：（6）函数的间断点是 答案：（7）答案：1（8）若，则答案：2单项选择题（1）设函数，则该函数是（）A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既
2、奇又偶函数答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）A B C D答案：C（3）函数的定义域为（）A B C且 D且答案：D（4）设，则（ ）A B C D答案：C （5）当（ ）时，函数在处连续.A0 B1 C D 答案：D（6）当（ ）时，函数，在处连续.A0 B1 C D 答案：B（7）函数的间断点是（ ）A B C D无间断点答案：A3计算题 （1） 解：（2） 解： （3）解： （4）计算极限 解： （5）计算极限 解： 二、 导数与微分（一）考核要求1.了解导数概念，会求曲线的切线方程.2熟练掌握求导数的方法(导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则)，会求简单的隐函数的导数
3、.3.了解微分的概念，掌握求微分的方法.4.了解高阶导数的概念，掌握求显函数的二阶导数的方法.（二）典型例题1填空题（1）曲线在点的切斜率是答案： （2）曲线在点的切线方程是 答案： （3）已知，则=答案：=27（4）已知，则=答案：，=（5）若，则 答案：2.单项选择题（1）若，则=（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2答案：C（2）设，则（ ） A B C D答案：B（3）设是可微函数，则（ ） A B C D答案：D （4）若，其中是常数，则（ ） A B C D答案：C3计算题 （1）设，求 解： （2）设，求.解： （3）设，求.解： （4）设，求.解： （5）设是由方程
4、确定的隐函数，求.解：方程两边对求导，得 于是得到 （6）设，求解：方程两边对求导，得 于是得到 三、导数应用（一）考核要求1.掌握函数单调性的判别方法.2.了解极值概念和极值存在的必要条件，掌握极值判别的方法.3.掌握求函数最大值和最小值的方法.（二）典型例题1填空题（1）函数的单调增加区间是 答案：（2）函数在区间内单调增加，则应满足 答案：2单项选择题（1）函数在区间是（ ）A单调增加 B单调减少C先增后减 D先减后增答案：D（2）满足方程的点一定是函数的（ ）.A极值点B最值点 C驻点D 间断点答案：C（3）下列结论中（ ）不正确 A在处连续，则一定在处可微. B在处不连续，则一定在处
5、不可导. C可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D函数的极值点可能发生在不可导点上.答案： （4）下列函数在指定区间上单调增加的是（ ） A B C D答案：B3应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为，高为，用材料为，由已知 令，解得是唯一驻点， 且，说明是函数的极小值点，所以当，用料最省.（2）用钢板焊接一个容积为4的正方形的水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为，高为，表面积为，且有所以 令，得， 因为本问题存在最小值，且函数的驻
6、点唯一，所以，当时水箱的面积最小. 此时的费用为 （元） 4.证明题（1）证明函数，在定义区间上是单调下降的.证明 因为的定义区间为，且，所以在是单调下降的. （2）证明函数在（是单调增加的证明：因为在（上，有，所以函数在（是单调增加的.四、 一元函数积分 （一）考核要求1.理解原函数与不定积分的概念、性质，掌握积分基本公式，掌握用直接积分法、第一换元积分法和分部积分法求不定积分的方法.2.了解定积分的概念、性质，会计算一些简单的定积分. 3. 了解广义积分的概念，会计算简单的无穷限积分。（二）典型例题1填空题（1）若的一个原函数为，则 .答案：（2）若，则答案： （3）若答案：（4）答案：（
7、5） 答案：（6）若，则答案：（7）若，则答案：（8） 答案：（9） .答案：0（10）= 答案：2单项选择题（1）下列等式成立的是（）A BC D答案：C（2）以下等式成立的是（ ）A B C D 答案：D（3）（ ）A. B. C. D. 答案：A（4）下列定积分中积分值为0的是（ ） A B C D 答案：A（5）设是连续的奇函数，则定积分（ ）A0B CD 答案：A（6）下列无穷积分收敛的是（）A B C D答案：D3计算题（1） 解：（2）解：(3)解：=(4) 解： (5)解：(6)解：4.证明题(1)证明等式.证明令，则，且当时，时，于是所以 (2)设在上连续，证明：证明 利用分
8、部积分法，= =五、积分应用（一）考核要求1. 会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积（直角坐标系）和绕坐标轴旋转生成的旋转体体积.2.了解微分方程的几个概念，掌握变量可分离的微分方程和一阶线性微分方程的解法.（二）典型例题1填空题(1)已知曲线在任意点处切线的斜率为，且曲线过，则该曲线的方程是 .答案： (2)由定积分的几何意义知，= .答案： (3)微分方程的特解为 . 答案： (4)微分方程的通解为 .答案：(5)微分方程的阶数为 答案：42.单项选择题(1)在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ）Ay = x2 + 3 By = x2 + 4 C D 答案：
9、A(2)下列微分方程中，（ ）是线性微分方程 A B C D答案：D (3)微分方程的通解为（ ） A B C D答案：C(4)下列微分方程中为可分离变量方程的是（）A. ； B. ； C. ； D. 答案：B3.计算题(1)求微分方程 的通解解：将原方程分离变量 两端积分得通解为(2)求微分方程满足的特解.解：将原方程分离变量 两端积分得 lnlny = lnC x 通解为 y = eCx 将代入通解，得，故特解为y = ex (3)求微分方程的通解.解 此方程为一阶线性微分方程，且，则方程的通解为 (4)求微分方程满足初始条件的特解解 此方程为一阶线性微分方程，且，则方程的通解为将初始条件代入通解，得，于是满足初始条件的为联系方式是：中央电大主持教师：赵 坚 电话： (010)-66490522邮件地址： 浙江省管课老师：韩玉娟 电话： （0571）880785498636 邮件地址：
