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1、四边形总复习（一）一知识结构二突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合在本章，重点研究了一些特殊的四边形，由于涉及的图形比较多，因此，本章涉及的图形的性质和判定方法也比较多教学时要注意突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过各种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来探索图形的性质【实践案例】如教学“平行四边形的性质”(1)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心：(2)平行四边形的对边平行且相等：(3)平行四边形的对角相等，邻角互补：(4)平行四边形的对角线互相平分再如教学“平行四边形的判定方法”再如教学矩形矩形定义：有一个角是直角
2、的平行四边形叫做矩形矩形的性质：(1)具有平行四边形的所有性质；(2)对角线相等；(3)四个角都是直角；(4)是轴对称图形，它有两条对称轴矩形的判定方法：(1)有一个角是直角的平行四边形；(2)有三个角是直角的四边形；(3)对角线相等的平行四边形；(4)对角线相等且互相平分的四边形实践案例以下是平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识点对比名称定义性质判定面积平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。对边平行；对边相等；对角相等；邻角互补；对角线互相平分；是中心对称图形定义；两组对边分别相等的四边形；一组对边平行且相等的四边形；两组对角分别相等的四边形；对角线互相平分的四边形。S=ah(a
3、为一边长，h为这条边上的高)矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形除具有平行四边形的性质外，还有：四个角都是直角；对角线相等；既是中心对称图形又是轴对称图形。有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；定义。S=ab(a为一边长，b为另一边长)菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。除具有平行四边形的性质外，还有四边形相等；对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；既是中心对称图形又是轴对称图形。四条边相等的四边形是菱形；对角线垂直的平行四边形是菱形；定义。S=ah(a为一边长，h为这条边上的高)；(b、c为两条对角线的长)正方形有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做
4、正方形具有平行四边形、矩形、菱形的性质：四个角是直角，四条边相等；对角线相等，互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；既是中心对称图形又是轴对称图形。有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；定义。(a为边长)；(b为对角线长)另外教学时要求让学生自行完成一些判定定理、性质定理的证明，有利于学生深刻理解概念的本质属性、概念之间的复杂的联系。三精典例题解答：1已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF。求证：（1）ADFCBE；（2）EBDF。证明：（1） AE=CF AE+EF=CF+FE 即 AF=CE 又ABCD是平行四边形， AD=CB，AD
5、BC DAF=BCE 在ADF与CBE中 ADFCBE（SAS）（2） ADFCBE DFA=BEC DFEB2如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是直线AC上的两点，并且AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形。 证明： 四边形ABCD是平行四边形 OA=OC，OB=OD又 AE=CF OA+AE=OC+CF 即 OE=OF 四边形BFDE是平行四边形3如图，在梯形纸片ABCD中，ADBC，ADCD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连结。求证：四边形是菱形。 证明：根据题意可知 则 ， ADBC CDE=CED CD=CE
6、 四边形为菱形4把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）。试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想。 解：HG=HB。证法1：连结AH， 四边形ABCD，AEFG都是正方形 B=G=90 由题意知AG=AB，又AH=AH RtAGHRtABH（HL） HG=HB证法2：连结GB 四边形ABCD，AEFG都是正方形 ABC=AGF=90 由题意知AB=AG AGB=ABG ABC-ABG =AGF-AGB 即HBG=HGB HG=HB5如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n后得到正方形AEFG，边EF与CD交于点O。 （1）
7、以图中已标有字母的点为端点连结两条线段（正方形的对角线除外），要求所连结的两条线段相 交且互相垂直，交说明这两条线段互相垂直的理由；（2）若正方形的边长为2cm，重叠部分（四边形AEOD）的面积为，求旋转的角度n。解：（1）我连结的两条相交且互相垂直的线段是_AO_和_DE_。 理由如下： 在RtADO与RtAEO中，AD=AE，AO=AO， RtADORtAEO DAO=OAE（即AO平分DAE） AODE（等腰三角形的三线合一） 注：其它的结论也成立如GDBE。（2） 四边形AEOD的面积为 三角形ADO的面积= AD=2 DAO=30 EAB=30即旋转的角度是306四边形ABCD、DE
8、FG都是正方形，连接AE、CG。 （1）求证：AE=CG；（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想。证明：（1）如图， AD=CD，DE=DG，ADC=GDE=90 又 CDG=90+ADG=ADE ADECDG AE=CG（2）猜想：AECG。 证明：如图，设AE与CG交点为M，AD与CG交点为N ADECDG DAE=DCG 又 ANM=CND AMNCDN AMN=ADC=90 AECG7已知：如图，在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足为点D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当ABC满足什么条件时，四边形
9、ADCE是一个正方形？并给出证明。证明：（1）在ABC中，AB=AC，ADBC BAD=DAC AN是ABC外角CAM的平分线 MAE=CAE 又 ADBC，CEAN ADC=CEA=90 四边形ADCE为矩形（2）当时（答案不唯一），四边形ADCE是正方形。 证明： AB=AC，ADBC于D 又 DC=AD 由（1）四边形ADCE为矩形 矩形ADCE是正方形8将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到处，折痕为EF。（1）求证：ABEADF；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论。证明：（1）由折叠可知：， 四边形ABCD是平行四边形 B=D，
10、AB=CD，C=BAD B=D，AB=AD DAE=BAD，即1+2=2+3 1=3 ABEADF（2）四边形AECF是菱形。 由折叠可知：AE=EC，4=5 四边形ABCD是平行四边形 ADBC 5=6 4=6 AF=AE AE=EC AF=EC 又 AFEC 四边形AECF是平行四边形 AF=AE 四边形AECF是菱。9如下图，已知P正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PEBC于点E，PFCD于点F （1）求证：BP=DP；（2）若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不 是，请用反例加以说明；（3）试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边 形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论思路分析：（1）解法一：在ABP与ADP中，利用全等可得BP=DP 解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP （2）不是总成立当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时， DPDCBP，此时BP=DP不成立 说明：未用举反例的方法
