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1、牛顿莱布尼茨公式此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多余，不过在一些条件上如函数f(x),我们是默认可积的。所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！(Ps：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字)定积分性质的证明首先给出定积分的定义：设函数f(x)在区间a,b上连
2、续，我们在区间a,b上插入n-1个点分成n个区间a,X,X,x2.Xn，Xni，其中x=a，xn=b，第i个小区间Axi=xi-xi1(i=1,2_n)o由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为ASi=f(i)Axi，为此定积分可以归结为一个和式的极限即：bf(x)dxlimXf(8i)A%ian.i1性质1证明Jcdx=C(b-a)，其中C为常数.nTbf(x)dXlimSflimc(x1，x0+x2，x1+.+xn，xn,1)anT.i=1limc(x一x0)=c(b一a)m几何上这就是矩形的面积性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的
3、两个原函数，证明F(x)二G(x)+C,C为常数.设K(x)=F(x)-G(x)定义域为KF(x)=G(x)=z(x)K(x)=F(x)一G(x)=z(x)一z(x)=0.用：)=limK(x+心)-K(x)=oAxT0Ax即对任意的xWK,都存在一个以|为半径的区间,使得K(x+x)=K(x)函数值在K内处处相等，K(x)=CK(x)为一直线即:F(x)-G(x)=C性质3：如果f(x)Wg(x),则,f(x)dx,g(x)dxaa设k(x)=f(x)-g(x),有k(x)WO.Jbk(x)dx=lim另k(i)xi0ngfafni=1ff即Jbk(x)dx=Jbf(x)-g(x)dx=Jb
4、f(x)dx-J&g(x)dx0fafaaa.Jbf(x)dxJbg(x)dxaa相关定理的证明介值定理：设f(x)在区间a,b上连续，当x$a,b,取m为f(x)的最小值,M为f(x)的最大值,对于任意的一个介于m,M的数C,至少存在一点W(a,b),有f()=C证明：运用零点定理:设f(x)在a,b上连续，若f(a)*f(b)0,则至少存在一点$(a,b),有f()=0设xl,x2Ga,b,且xlx2,f(xl)=m,f(x2)=M,g(x)二f(x)-C,其中mCM则：g(x1)=f(x1)-C0即：g(x1)*g(x2)f(e)=CPs：在这里，零点定理在高中应该有介绍，很美妙的一个定
5、理，在几何上有明显的意义，通俗的理解是：有两个点，一个大于0(在x轴上方)，一个小于0(在x轴下方)，要用一条连续的线把它连起来，那么势必至少会与x轴有一个交点。严格的证明这里就不了，其实我也不太懂，有兴趣的可以上网查查.积分中值定理：若函数f(x)在区间a,b上连续,，则在区间a,b上至少存在一个点e(a,二f()(ba)几何意义：曲线所围成的面积总有一个以积分区间为长的矩形面积与之相等即：mWf(x)WM设f(x)在区间a,b的最大值为M,最小值为m,.JbmdxJbf(x)dxJbMdxaaanm(b一a)Jbf(x)dxM(b一a)raJbf(x)dxnmaMb一a由介值定理：在区间a
6、,b上至少存在一个点$(a,b),有Jbf(x)dxf()=ab一a积分上限函数(变上限的定积分)的定义设函数f(x)在区间a,b上连续，则定积分Jf(x)dx的值由区间a,b与ai匕f(x)决定，与积分变量的记号x无关，因此可以记为Jf(t)d；而对于积分Jf(t)dt，当xea,b时，都会有一个由积分JfdtaIa所确定的值与之对应，因此积分Jf(t)dt是上限x的函数.记为：fa申(x)=Jxf(t)dta0(x)=f(x)显然，我们好自然会从左边证起，因为我们要运用W(x)的定义，用到导数的定义，更重要的是，因为我们要落笔，而不是呆呆的看。(因为有的人是在看，有的人是在观察，这明显存在
7、很大的差别)(x+Ax)(x).Jx+Axf(t)dtJxf(t)dt=limaaAxtOAxJx+Axf(t)dtJx+Axf(t)dt_a=limAxAxtoAx(x)=limAxtOAxJaf(t)dt+=limAxtO由积分中值定理，有：Jx+Axf(t)dt=f()Ax(其中&是在x与x+Ax之间)Jzf(t)dtf()Ax0时，-x(x)=limf()=f(x)Axt0通往真相的最后一*步证明:Jbf(x)dx=F(b)F(a)a设F(x)为f(x)的原函数(x)=Af(t)dt也是f(x)的一个原函数a由性质2f(x)的任意两个原函数之间相差一个常数C,有F(x)=(x)+CF(b)=(b)+CF(a)=(a)+CJaf(t)dt=0Jbf(t)dt与积分变量无关=Jbaa.F(b)F(a)=Jbf(x)dxaf(t)dt=Jbf(x)dxaa:.J(b)F(a)=(b)(a)=Jbf(t)dtJaf(t)dta相信你以后用它的时候会更加坚定，更加自然.End.
