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1、.同余问题（一）在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是 7 时 30 分，再过 52 小时是几时几分？我们知道一天是24 小时，也就是说 52 小时里包含两个整天再加上4 小时，这样就在7时 30 分的基础上加上 4 小时，就是 11 时 30 分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。1. 同余的表达式和特殊符号37 和 44 同除以 7，余数都是 2，把除数 7 称作“模 7”，37、44 对于模 7 同余。记作：（ mod7）“”读作同余。一般地，两个整数a 和 b，除以大于 1 的自然数 m 所得的余数相同，就称a、b 对于模 m 同余，记作：2. 同余的
2、性质（1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。）（2）若，那么（这称作同余的对称性）（3）若，则（这称为同余的传递性）（4）若，则（）（这称为同余的可加性、可减性）精选.（称为同余的可乘性）（5）若，则，n 为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：如果那么（的差一定能被 k 整除）这是为什么呢？k 也就是的公约数，所以有下面我们应用同余的这些性质解题。【例题分析】例 1. 用 412、133 和 257 除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？精选.分析与解答：假设这个自然数是a，因为 412、 133 和 257 除以 a 所得的余数相同，所以，说明 a 是以上三个数中
3、任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。所以 a 最大是 31。例 2.除以 19，余数是几？分析与解答：如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。所以此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。例 3. 有一个 1997位数，它的每个数位都是2，这个数除以 13，商的第 100 位是几？最后余数是几？精选.分析与解答：这个数除以 13，商是有规律的。商是 170940六个数循环，那么，即，我们从左向右数“ 170940”的第 4 个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第100 位是 9。余数是几呢？则所以商的个位数字应是“170940”中的第
4、4 个，商应是 9，相应的余数是5。【模拟试题】 （答题时间： 20 分钟）1. 求下列算式中的余数。（1）（2）精选.（3）（4）2. 6254与 37 的积除以 7，余数是几？3. 如果某数除 482，992，1094都余 74，这个数是几？同余问题（二）【例题分析】例 1.除以 7，余数是几？分析与解答：例 2. 一个自然数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 1，这个自然数最小是几？分析：假设这个自然数为 a那么精选.这道题考虑的困难是它们的余数不相同。如果把这道题改一下， 使它们的余数相同， 利用整除的知识， 便容易考虑了，先看下面一道题：一个自然数除以 3 余 2，除以
5、 5 余 2，除以 7 余 2，那么，这个自然数若减去2，便同时是 3， 5， 7 的倍数，这样的自然数有：105， 210，315， 分别被 3，5，7 除余 2 的数是2， 107， 212，317， 最小的自然数是2。回过头来看刚才的题，能不能把它也变为余数相同的数呢？稍加变式，可以写成：这样同时是 3，5，7 倍数的数有 105，210， 315， 那么同时被 3，5，7 余 8 的数有：8， 113， 218，323， 其中最小的自然数为8。例 3.在求 51173526被 7 除的余数时，小明这样做：所以余数是 5刘老师说，小明的算法不仅正确，而且巧妙迅速，你知道其中的道理吗？分析
6、与解答：精选.看了下面的算式，你就会明白的。小明用的这种方法，有比较广泛的应用，常称之为“拼凑法”在解关于用几除的余数的问题时，常常“拼凑”出显然是几的倍数的部分，对于这部分，简直可以“置之不理”，这样可以使解答过程简化。例 4.除以 3 的余数是几？为什么？分析与解答：在上式的加项中，显然可以被 3 整除，因此只须计算被 3 除余数是几。由于因此由此可知，只须计算被 3 除的余数，它又等于被 3 除的余数。由于，所以所以余数是 1【模拟试题】1. 今天是星期日，再过天又是星期几？精选.2. 求除以 3 所得的余数。3. 某数除 680，970 和 1521，余数相同，这个数最大是几？4. 有
7、一列数排成一行，其中第一个数是 3，第二个数是 7，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么，第 1997个数被 3 除，余数是几？5. 若将一批货物共千克装入纸箱， 每箱装 10 千克，最后余多少千克？若每箱装 17 千克，最后还余多少千克？6、 1309 被一个质数相除，余数是21，求这个质数。7、 1796 被一个质数相除，余数是24，求这个质数。8、求 2001 2000 除以 7 的余数。9、求 123 345+234 456 除以 11 的余数。10、有一个大于1 的整数，它除 1000、1975、2001 都得到相同的余数，那么这个整数是多少？11、有三个数1989、901
8、 和 306 被同一个自然数除，得到相同的余数，求这个自然数。12、两个自然数相除，商15，余 3，被除数、除数、商、余数的和是853，求被除数。8、两数相除商40 余 7，被除数、除数、余数和商的和是710，求被除数。13、有一个数除以3 余 1，除以 4 余 2，问这个数除以12，余数是几？14、一个数除以5 余 1，除以 6 余 3，除以 7 余 4，这个数最小是几？精选.15、 38674253 1644 351，求里的数。49376845 3379 765，求里的数。16、两个自然数相除，商8 余 16，被除数、除数、商与余数的和为265，求除数是多少？17、写出除以8 所得的商和余
9、数（不为0）相同的所有的数。18、 20022002-2001除以 9 的余数是多少？19、当 2002 和 1781 除以某一个自然数，余数分别是2 和 1，那么这个数最大是多少？20、一个数除以17 的余数是5，被除数扩大2 倍，余数是多少？21、有一个数，除以3 余数是 1，除以 4 余数是 3 。这个数除以12，余数是多少。22、 570 被一个两位数除，余数是15，这个两位数是多少？23、有一个数加上22 的和被 9 除余 3，这个数加上35 的和被 9 被余几？B 组24、有一个整数，用它去除45， 53， 143 得到的 3 个伤痕的和是20，这个数是多少？25、有一个数用它去除
10、100，余数是 1，用它去除50，余数是6，求这个数。26、把几十个苹果平均分成若干份，每份9 个余 8 个，每份 8 个余 7 个每份 4 个余 3 个。这堆苹果共有多少个？精选.27、有一个数被5 和 11 整除均余4，被 3 正好整除，这个数最小是几？28、求被 4 除余 2，被 6 除余 2，被 9 除余 5 的两位数。29、一个数能被3、 5、 7 整除，若用11 去除则余7，这个数最小是几？30、小红收数学学习小组买奥数练习本的钱，她只记下四组各交的钱，第一组6.3 元，第二组 7.7 元，第三组6.3 元，第四组9.1 元，又知道每本练习本价格都超过1 角，求数学学习小组共有多少人？（提示：练习本单价是总价的公约数。）
