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1、习 题 三（解答）1.设随机变量(X, Y)的联合分布为Y12311/61/91/1821/3abX若X，Y相互独立，则（ A ）. A. B. C. D. 解：根据离散型随机变量独立性的定义，px=1y=2=px=1py=2 即：1/9=（1/6+1/9+1/18）（1/9+a）得：a=2/9px=1y=3=px=1py=3 得：b=1/9 2. 同时掷两颗质体均匀的骰子, 以X, Y分别表示第1颗和第2颗骰子出现的点数, 则( A ). A. B.C. D. 解：根据离散型随机变量独立性的定义，因为所有的样本点为（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，1）（2，2
2、）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）一直到（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）共36个X=Y共6个，故B选项，则C选项 XY的样本点数为21个， 3. 若,且X, Y相互独立，则( C ). A. B.C. D.参看课本69页推论2：随机变量，且相互独立，常数不全为零，则有4. 已知相互独立，记 则( A ). A. B. C. D. 5. 已知(X, Y)的密度函数为则C的值为( D ).A. B. C. D. 解：根据二维随机变量密度函数的性质：即： 解得：c= 6为使 为二维随机向量(X, Y)的联合密度,则A必为( B ). A. 0 B. 6 C. 10
3、 D. 16解：同上题类似 7. 设的密度函数为, 则(X, Y)在以(0,0), (0,2), (2,1)为顶点的三角形内取值的概率为( C ).A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8解：以(0,0), (0,2), (2,1)为顶点的三角形内，密度函数解析式不唯一。以(0,0), (0,1), (2,1)为顶点的三角形内，以(0,1), (2,1), (0,2)为顶点的三角形内, 所以，=0.68. 设（，）的联合密度函数为判断与是否相互独立.解：根据课本62页定理1，先求，然后看是否成立。经判断，不独立9一个袋中有4个球，分别标有数字1、2、2、3，从袋中随机取出2个球，
4、令、分别表示第一个球和第二个球上的号码，求：（，）的联合分布列. 解：根据实际意义得：px=1y=1=0 px=3y=3=0其它概率直接求即可。 YX 1 2 31 0 1/6 1/122 1/6 1/6 1/63 1/12 1/6 0 10设随机变量和的分布如下： 0 1 0 1P 又已知，试求的联合分布，并判断和是否独立.解： 由得：px=-1y=1=0，px=1y=1=0根据联合分布和边缘分布的关系，py=1=1/2，得px=0y=1=1/2 px=0=1/2，得px=0y=0=0, px=1=1/4，得px=1y=0=1/4px=-1=1/4，得px=-1y=0=1/4 联合分布为：
5、YX0 1-1 1/4 000 1/211/4 0因为px=0y=1=1/2，而px=0 py=1=1/4，所以X，Y不独立11设的分布列如下，写出与的边缘分布. （X,Y）(0，0) （-1，1） （-1，3） （2，0）P1/6 1/3 1/12 5/12解：根据联合分布和边缘分布的关系得：X-1 0 2Y0 1 35/12 1/6 5/127/12 1/3 1/1212设随机变量与相互独立，且分别服从参数为和的泊松分布，求的概率分布. 13设（，）的概率分布为：YX-112-15/202/206/2023/203/201/20求：和的分布列.解：考查离散型随机变量函数的分布，参看课本67
6、页例1-2 0 1 3 4 P5/20 2/20 9/20 3/20 1/20 -1 -2 1 2 4 P 2/20 9/20 5/20 3/20 1/20 14设二维随机变量（，）的密度函数为求常数及边缘分布密度函数.解：考查二维随机变量密度函数的性质及密度函数与边缘密度函数的关系由得：所以C=1边缘密度公式： 带入得：, 15. 设二维随机变量（，）的密度函数为（1） 求和的边缘密度，并判断和是否独立；（2）求 解：（1）与上题类似，判断是否独立，看是否成立。（2） 求区域上的概率。即高等数学上求二重积分。 =65/7216. 独立投掷一枚均匀的骰子两次，记、为两次中各出现的点数，求一元二
7、次方程有实根的概率和有重根的概率.解：方程有实根即，参看选择第二题，样本点数为19，故P=19/36。重根即 样本点为2个。P=2/3617. 证明二维正态随机变量相互独立的充要条件是. 石油大学课本96页例3.1718. 设是由直线，及所围成的三角形区域，二维随机变量在上服从均匀分布，求： （1）的联合概率密度；（2）的边缘分布密度函数;(3) 条件密度和.解：（1）由均匀分布的定义（64页例6），D为平面上面积为A的有界区域. 求区域的面积A=32，所以（2）边缘密度公式： ，将密度函数带入得 , （3）条件密度公式： 19. （系统管理）设某系统由两个相互独立的子系统与连接而成，已知与的寿命（单位：年）分别为随机变量与，它们的分布密度为 式中的，与的连接方式为（1）串联；（2）并联；（3）留备用. 若系统的寿命为，试求的分布密度，若，试求. 石油大学课本107页例3.24
