《三个常用坐标系的认识及矢量旋度表达式的证明》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三个常用坐标系的认识及矢量旋度表达式的证明（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、三个常用坐标系的认识及矢量旋度表达式的证明【摘要】本文通过分析一个悖论的产生原因，叙述了在学习中对三个常用坐标系的单位矢量的一点认识；然后由旋度的定义出发，给出了一种不同于教材的矢量旋度表达式推演方法证明。【关键词】坐标系单位矢量悖论旋度表达式一、对三个常用坐标系的认识题目urLT将位于球坐标下的P点(1,30,90)处的矢量A*，先在直角坐标系下表示出其表达式，然后再将所得到的表达式重新表达成球坐标系下表出。则将得到如下悖论：urltirA=e=e请在分析产生此悖论原因的基础上，撰写一篇关于对三个常用坐标系单位坐标矢量认识的学习报告，并另外设计一个类似的悖论。urltur1、悖论A二右的产生
2、：urA在直角坐标系下的表达式为：ururltltA弋所以A为点R(0,上2,-丄)处的矢量。然后再将22urA在球坐标下表出0231=1丁-arccos(z/x2y2z2)=arccos(_/=120=arctan(y/x)二90ur所以，此时的A是点F2(1,120,90)处的矢量urlturltlt此时，A=e_,=er，即在F2点处e,与er大小相等，方向相同。ult产生悖论的原因：将在球坐标系中的最初的矢量a=e经过球坐标表出变换为直角坐标表出，再变换为球坐标表出这一变换过程之后，P点在球坐标系下的位置已经改变，由此产生ltltltlt了比=e；但是，F2点处的已经不等于P点处的牛，
3、因为它们的方向不相同。2、对三个常用坐标系下单位矢量的认识2.1、直角坐标系下的单位矢量在直角坐标系中，三个单位坐标矢量在确定了直角坐标系的前提下是常矢量，iririrex,ey,ez不随坐标内的点的变换而变化。因此，一般需判断一矢量是否为常矢量时，常将其用直角坐标系的单位矢量表出，由此进行判断。2.2、柱坐标系中的单位矢量如果确定一个圆柱坐标，其单位矢量LTLiLTez是常矢量，大小、方向确定；而单位矢量e,e则不是常矢量。由LULTLTej=excoseysinLTLTLTe=-esineycos知:inire：,e是随着的变化而变化的。2.3、球坐标系中的单位坐标如果确定了一个球坐标系，
4、其单位矢量LTLTLTer=exsinxoseysinsinezcosrLTLTLTLT二excoscoseycossin-qsin二ltlte二-exsineycosLTLT知：er,e_,随二,的变化而变化，LrLTLTer,e，e都不是常矢量。由lte随的变化而变化。因此，在取球坐标上某些点时,LTLT有可能使e.-e.，如本题中的点P2(1,120,90)。2.3、另一悖论。uLT在球坐标系下的点Q(1,45,0)处的矢量B=禺，经过球坐标表出变换为直角坐标表出,再变化为球坐标表出这一变换过程，可以得到ulturA=e.q.。证明思想与前面的证明相同。二、矢量旋度表达式的推演与证明1、
5、题目直接从旋度的定义出发，给出符合逻辑的矢量旋度表达式的推演新证明方法和完整过程。2、推演与证明一U3建立直角坐标系，设A=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)为区域(G)工R上的C类函数en二(cos：,cos-,cos)由环量密度的定义及Stokes公式的向量形式:可知:ur?Ads二.CuruA)ds二CA)urrends(c)d-limds（）M：su?Ad(,c)slim（）冶UUITcA)ends.Cs)利用积分中值定理可知urururCA)ends二CCs)uirA)nbs,Mcs)ir由于ca）en在m点连续，从而我们可以得到环量密度的计算公式:d-iruUUUPds(.啊CA)站WA)/（1）ds为由（1）式可见珂迟-卫)cos(M)cosiUsr_x:yd-CZ其中为向量uuriren的iriri夹角，因而当申=0,即取en与向量7ir汇A同向时，环量密度V乂A与drIIultiiuuU最大，其值为gA。有旋度的定义可知，向量可xA正是场A在点M的旋度，即dsIIII矢量旋度的表达式:urITrotA7沢A或rrrijkrotA=ex弓PQRAencos半,ds一马+伴rcZcX丿.fixcy；
