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1、8.随机变量的函数的分布【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的概率论与数理统计第二章第五节的随机变量的函数的分布【教材分析】：本节课主要是在学生学习了随机变量的概念和随机变量的分布的基础上进行的教学；本节从随机变量的分布入手引入随机变量的函数的随机性特征， 即由自变量的统计规律性出发研究因变量的统计性规律的问题；本节课的教学先讲授离散型随机变量的函数的分布接着讲连续型随机变量的函数的分布。让学生掌握两种不同的随机变量的分布的求解方法。其中，离散型随机变量的函数的分布是比较容易求得而连续型随机变量的函数的分布学生往往束手无策，因此，我在本次教学中，先复习分布函数和概率密度函
2、数的关系，后通过简单例子来讲解，最后归纳总结 ，再研究连续型随机变量的函数的一种特殊情形的分布问题。最后导出一个重要的定理。【学情分析】： 1、知识经验分析 学生具有一定的随机变量及其分布相关理论知识及微分学相关知识，通过前两次课的学习已具备一定的解题方法，本节课通过让学生观察、思考，教师启发、引导等教学方式，让学生自然过渡到随机变量的函数的分布的学习中。 2、学习能力分析 学生虽然具备一定的微积分的知识和随机变量的理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。【教学目标】：掌握随机变量的函数的概率分布的求法。 【教学重点、难点】： 重点：离散型随机变量的函
3、数的分布；连续型随机变量的函数的分布。 难点：连续型随机变量的函数的分布。【教学方法】：讲授法 启发式教学法【教学课时】：1个课时【教学过程】：一、问题引入 在实际中，人们常常对随机变量 的函数所表示的随机变量更感兴趣。如：已知圆柱截面直径 d 的分布，求截面面积的分布。又如：已知时刻噪声电压V 的分布，0V求功率 (为电阻）的分布等。 【设计意图】：让学生感受到数学与生活“零距离”，从而激发学生学习数学的兴趣，使学生获得良好的价值观和情感态度。二、离散型随机变量函数的分布设离散型随机变量的概率分布为易见， 的函数显然还是离散型随机变量。如何由的概率分布出发导出的概率分布? 其一般方法是：先根
4、据自变量的可能取值确定因变量的所有可能取值， 然后对的每一个可能取值确定相应的于是从而求得的概率分布。 例1 设随机变量具有以下的分布律，试求的分布律。解：所有可能取的值为，由即得的分布律为一般地则的分布律为 【设计意图】：通过这个例子，让学生观察求离散随机变量的函数的分布时我们应该采用什么方法，从而达到让学生掌握在求离散随机变量的函数的分布时先求函数的取值，再求函数的分布律的目的，并在此基础上进一步总结方法。 【总结】：先根据自变量的可能取值确定因变量的所有可能取值， 然后对的每一个可能取值确定相应的在每一点处取值的概率。三、连续型随机变量的函数的分布 例2设随机变量具有概率密度求随机变量的
5、概率密度。解：第一步：先求 的分布函数第二步：由分布函数求概率密度。 例3设随机变量具有概率密度，求的概率密度。解： 设 和 的分布函数分别为和 ，注意到 0，故当 时，；当 时， 求导可得则 的概率密度为Y 服从自由度为 1 的 分布【设计意图】：通过这两个例子，让学生掌握用分布函数法求连续型随机变量的函数的分布的方法。【总结】：先求连续型随机变量的函数的分布函数，再对分布函数求导求出概率密度函数。定理 设随机变量具有概率密度，又设函数处处可导且恒有(或恒有)， 则是连续型随机变量，其概率密度为 其中是的反函数。 证明略。 例4 设随机变量，试证明的线性函数也服从正态分布。证明的概率密度为
6、例5 设电压，其中是一个已知的正常数，相角是一个随机变量，且有，试求电压的概率密度。解： 【设计意图】：通过这两个例子，让学生明白当为严格单调时，采用定理能方便的求解出连续型随机变量的函数的分布。【总结】：连续型随机变量的函数的分布有两种方法 ：方法1 方法2 注意条件。.三、思考与提问： 四、内容小结 随机变量的函数的分布 1离散型随机变量函数的分布； 2连续型随机变量函数的分布；五、课外作业： P59： 33 ， 34 ， 35， 37六、板书设计随机变量的函数的分布一、问题引入 例1已知圆柱截面直径 d 的分布， 求截面面积的分布。例2已知时刻噪声电压V 的分布，二、离散型随机变量函数的分布 例1 设随机变量具有以下的分布律，试求的分布律。一般的则 的分布律为 三、连续型随机变量函数的分布例2设随机变量具有概率密度求随机变量的概率密度。例3设随机变量具有概率密度，求的概率密度。定理 设随机变量具有概率密度，又设函数处处可导且恒有(或恒有)， 则是连续型随机变量，其概率密度为 其中是的反函数。例4 设随机变量，试证明的线性函数也服从正态分布。证明略例5 设电压，其中是一个已知的正常数，相角是一个随机变量，且有，试求电压的概率密度。
