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1、计算 n 阶行列式的若干方法举例n阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（按照某一列或某一行展开 完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选 用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法， 并举例说明。1利用行列式定义直接计算00100200例计算行列式D =1/1 n n 10000 00n解D中不为零的项用一般;n形式表示为a11a 22 a1a=1n 1 2n 2n 1 1n n.n（n - l）（n 亠 2） 该项列标排列的逆序数t （n 1 n21n）等于（n-1）（ n 一 2）故 D =
2、 （一1）2 n ! n2利用行列式的性质计算例：一个n阶行列式Dn二a的元素满足a广一役，i，j =，n，则称Dn为反对称行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零证明：由 a = -a 知 a = -a，即 a = 0, i = 1,2, nij ji ii iiii0aaa12131na0aa12232 nD = aa0an1323 3 naa a0-1n 2 n 3n 0aaa12131na0aa1223 2 n）二aa0an1323 3naaa 0.1n 2n 3in 0a aa12131na0aa1223 2 n=(1)naa0a1323 3naaa 01n2 n 3 n 故行列 式
3、Dn 可 表示为n由行列式的性质|A| = |A，|=(1)nDn当n为奇数时，得D =D ,nn因而得 Dn = 0n3化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化 三角形是行列式计算中的一个重要方法。化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计 算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角 形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一 般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下
4、，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形， 再将其化为三角形行列式。1-3-132-7-391-5例1计算行列式D二204-213-57-1464-410-102解 这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算（2）+ 3（ 1）（3） 2（ 1）11231112311-12-31（4） 3（ 1）00102(2 )刁(3 )02041/、/、0204-1（5） 4（1）(4 ) + ( 2 )0204100102 0 0-10-202153021530 0 1-1200222002220 0 2 2 -2(4 ) +(3)1123112310304-1/、2 ( 4
5、 )02041(5 ) + ：2 ( 3 )00102他00102 = 1 - 2 (1)(1)(6 )= 12 .000100001000026000061 + aaaa123na1+aaa123naa1+aa123naaa1 + a.卜 ?-例2计算n阶行列式D =n解 这个行列式每一列的元素 此n列之和全同将第2, 3,，n 1除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1+i Di = 2, , n+ a+ a丿aaa2n23n+ a+ a丿1 + aaa223n+ a+ a ）a1 + aa2 n23n+ a+ a ）aa
6、 1 + a2 n-3 1a a 亠 a 0n21301 + （a1n01 + （a1 + （a1 + （a1a21 + a2a3a31 + a3ananan1 + a n（i ）-（1）i = 2, , nt1+z .区aii=1例3计算n阶行列式D =解：这个行列式的特点是每行列）元素的和均相等,根据行列式的性质，把第2，3,，n列都加到第 1 列上,行列式不变,得a + （n 一 1）bbbb1bbba + （n 一 1）bab4b 1ab b D = a + （n 一 1）bba4b =a + （n 一 1）b1ba4b a + （n 一 1）b b 4b 4 a 1 b 4b4 a
7、1bb0a 一 b0=a + （n 一 1）b 00a 一 b000b00 = a + （n 一 1）b（ a 一 b） n-1a 一 b例 4：浙江大学 2004 年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第 2 小题（重庆大学 2004 年攻 读硕士研究生入学考试试题第三大题第 1 小题）的解答中需要计算如下行列式的值：D=n分析显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘 以一1加到第n列，第n-2列乘以一1加到第n-1列，一直到第一列乘以一1加到第2列。然后把 第1行乘以
8、1加到各行去解：再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。(i 2, n)+n(i 2, n) 11r + r1 n in(n +1)n 一11 n(n+1)(n1)(n 2)(n)n-1 (1)2n2(n+1) nn1 1 一4降阶法（按行（列）展开法）降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是根据行列式的特点，先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。例1、计算20阶行列式D20123181920212171819321161718201918分析这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（
9、列）展开法逐次降阶直至化许许多多个2 阶行列式计算，需进行20! *201次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成的，更何况是n阶。 但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差1，因此，可按下述方法计算： 解：D2012318192021217 181932116 17181918321-c(i = 1,19)-1-12019-1-1-1-1 20-1-1-1-1-12, 20)21 x (-1)20 +1 X 218=21 x 21820 21a00010a00000a00例2计算n阶行列式D广000a01000aa0 000a000a0 000a 0D=a 00a 0+ ( 1)n+1解将Dn按第1行展开n n000a000a1000an + (l)n+1(1)n an2 二二 an an2 a0001
