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1、M、N分别是边 AB、BC、CD、第一章矢量与坐标1 1.1矢量的概念2 .下列情形中矢量终点各构成什么图形？(1)把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；(2)把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点;(3)把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；(4)把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点解：(1)单位球面； (2)单位圆(3)直线；(4)相距为2的两点3 .设点O是正六边形 ABCDEF的中心，在矢量 OA、OB、 OC、OD、OE、OF、aB、BC、CD、 dE、eF和FA中，哪些矢量是相等的？解:如图1-1,在正六边形 ABCDEF中，相等的矢量对是：4 .设在平面上
2、给了一个四边形 ABCD,点K、L、DA的中点，求证： KL = NM.当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立?证明:如图1-2,连结AC,则在BAC中，中，NM义Iac. NM.与AC方向相同，从而2KL =NM 且KL与NM方向相同，所以 KL = NM .5 .如图1-3,设 ABCD-EFGH是一个平行六面 体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互 为相反矢量的矢量：(1) AB、CD; (2) AE、CG; (3) AC、EG;(4) AD、GF ;(5) bE、CH .解:相等的矢量对是(2)、(3)和(5);互为反矢量的矢量对是(1)和(4)。KL = 1 AC. KL与AC
3、方向相同；在DAC 1.2矢量的加法a,b应满足什么条件?1.要使下列各式成立，矢量;b ba ab ba aI IJ .J;a a a b b b a a a-1解:(1)a,b所在的直线垂直时有a b| a b|;(2) a,b 同向时有 aba|b|;(3) ab,且 a,b反向时有 ab|a| |b|;（4） a,b反向时有（5）a,b同向，且 1.3 数量乘矢量1试解下列各题.化简（x y）(a b)(x y) (a b).已知ae12e2备3e1 2e22e3 ,求 a b , a b和 3a 2b .(x从矢量方程组3x 4y2x 3yy) (a b) (xy) (ab)解出矢量
4、xa xby a yb xa xb y a y b 2xb 2y a a b e1 2 e2e3 3e12e22e34e1 e3 ,a be12e2 63(3ei2e2263)2e1 4e2 3e3 ,3a 2b 3(e1 2e263)2(3e12e2263)3 e1 10e2 7 e3 .2已知四边形ABCD中,AB a2c,CD5a 6b对角线AC、BD的中点分别为E、F ,求EF .11解 EF -CD -AB1 (5a216b 8c) (a22c)3a3b 5c.3 设 AB a 5b , BC2a 8b, CD 3(ab）,证明:A、B、D三点共线.证明 BD BC CD2a 8b
5、3(a b)5b AB AB与BD共线，又;B为公共点，从而A、B、D三点共线.4在四边形ABCD中，ABa 2b, BC4ab, CD 5a 3b,证明ABCD为梯形.证明 AD AB BC CD(a 2b) ( 4a b)(5a 3b) 2( 4ab) 2BC AD / BC, . ABCD为梯形.6.设L、M、N分别是A ABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量AL BMCN可以构成一个三角形.、r- 1 证明:AL -(AB AC)从而三中线矢量 AL, BM ,CN构成一个三角形。7 .设L、M、N是4ABC的三边的中点，O是任意一点，证明OA OB + OC = OL
6、+ OM +ON .证明oA OL LA=OL OM ON (AL BM CN)由上题结论知： AL BM- CN 08 .如图1-5,设M是平行四边形 ABCD的中心，O是任意一点，证明OA + OB + OC + OD =4OM .证明:因为OM =图1-51 -1(OA + OC), OM21 2(OB + OD ),所以2OM =2 (OA + OB+OC + OD )3所以OA + OB+OC + OD =4OM .中，证明9在平行六面体ABCDEFGH (参看第一节第4题图)AC AF AH 2 AG .证明 AC AF AH AC AF AD DH AC AF FG CG 2AG
7、.10.用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半. 证明 已知梯形 ABCD ,两腰中点分别为 M、N ,连接AN、BN .MN MA AN MA AD DN ,MN MB BN MB BC CN , . . MN AD BC ,即1 , 、一 一一1MN -(AD BC),故 MN 平行且等于一(AD BC).2 211.用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分证明:如图1-4,在平行四边形 ABCD中，O是对角 线AC, BD的交点AD OD OABC OC OB但 AD BCOD OA OC OBOA OC OD OB由于(OA OC) / AC, (OB O
8、D) / bD,而 AC 不平彳f于 BD ,OA OC OD OB0,从而 OA=OC , OB=OD。i2.设点O是平面上正多边形A1A2An的中心，证明：证明:因为OAi + OA3 =OA2 ,所以所以显然所以OA2 + OA4 =OAn i + OAi =OAn + OA2 =OA3,OAnOAi,2( OAi +OA2 + OAn)=(OAi + OA2 + OAn ),(-2)(OAi + OAZ + +OAn )=0.W2,即-20.OAi + OA2 + + OAn = 0 .i3.在i2题的条件下，设p是任意点，证明：PA PA2PAn nPO证明:OAi OA2OAn0即
9、 PA PA2PAn nPO i.4矢量的线性关系与矢量的分解i.在平行四边形ABCD中,(i)设对角线AZ a,BDb,求 AB,BC,CD,DA.解:ABi , - b a, BC2i - i 一 i i 一b a,CD b a,DA22i-b a .设边bc和cd的 2(2)中占I 八、P, ANq 求 BC,CD。解:ACi ”,q P BC 2MC2，3P2.在平行六面体 ABCD-EFGH 中,AB s,AD e2,AE e3,三个面上对角线矢量设为 AC p, AHq,AF r,试把矢量a p q r写成3,6263的线性组合。证明：AC p e2 e, AH qe3e2 ，1）
10、,O是空间任意一点，求证:解：（1）BCACAB e2e1，BD1BC 1e2 e1 33(2)所以ADABBD13e11e2 ,同理AE321Pe2 G33因为|BT| _ led|TC| |G IBT与TC方向相同,BT =图 TC .Ie2 I 由上题结论有AT =IIIFI% Ieled |e21|e215.在四面体OABC中，设点G是 ABC的重心（三中线之交点）,求矢量OG对于矢量OA,OB,OC的分解式。解： G是 ABC的重心。连接AG并延长与BC交于PAF r e3 q ,3 .设一直线上三点 A, B, P满足AP = PB (OA OB OP =1证明:如图1-7,因为A
11、P = OP-OA,PB = OB- OP,所以 OP - Oa= (Ob _ OP),(i+)op = oA+ oB, OA OB 从而 OP =.4 .在ABC中，设aB e； AC 屋（1）设D、E是边BC三等分点，将矢量AD,AE分解为362的线性组合；OG OABA BC ,CG1 1 CA CB 31AG OA 一3AB BC (1)（2）设AT是角A的平分线（它与BC交于T点），将AT分解为e, ,e2的线性组合F k 丁 L 1OG OB BG OB BA BC (2) 3(图1) 1 -OG OC CG OC - CA CB (3) 3由(1) (2) (3)得F 1 k k
12、 即 OG OA OB OC36.用矢量法证明以下各题 (1)三角形三中线共点证明：设BC, CA, AB中，点分别为L , M , N。AL与BM交于R , AL于CN交于P2ABM于CN交于P3,取空间任一点 O,则1 -OB - OA OB OC OB 31 同理 OP2OA OB OC3-1 -OP3 - OA OB OCP1,P2, P3三点重合（图2）3a 2b是否线性相关？三角形三中线共点 (第3页)7 .已知矢量a,b不共线，问c 2a证明：设存在不全为0的即 2a b b20 a 23 b 20故由已知a,b不共线得0与假设矛盾,故不存在不全为0的，使得c d 0成立。所以c
13、,d线性无关。c= - 30 +12e2 +11 q 共面,8 .证明三个矢量 a = - G +3 e2 +2 63 , b = 4 e1 一 6 % +2 q , 其中a能否用b ,C线性去示？如能表示，写出线性表示关系式 证明:由于矢量e；, e? e3不共面，即它彳门线性无关.考虑表达式a + b +vc = 0 ,即(G +3e2 +2 63)+ (4e1 6 e2 +2 63 )+v ( 3e +12 e? + 11 63 ) = 0, 或(一+4 3v) e1 +(3 -6 +12v) e2+(2 +2 +11v) e3 = 0.由于e , e2 , e3线性无关，故有解得 =10,= 1, v= 2.由于 =-10 0,所以a能用b ,c线性表示a =
