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1、（新教材）北师大版精品数学资料A.基础达标1已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n，则l与所成的角为()A30B45C135 D150解析：选B.因为cosm，n，所以m，n135，故l与所成的角为45.2设ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA平面ABCD，则异面直线AC与BF所成的角等于()A45 B30C90 D60解析：选D.设a，b，c，|a|b|c|1.ab，bc.(ab)(cb)b2|cos，所以cos，故AC与BF所成的角为60.3正四棱锥SABCD中，SAAB2，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为()A. B.C. D.解析：选C.设平面
2、ABCD的中心为O，以，为x，y，z轴正向建立坐标系，A(，0，0)，C(，0，0)，S(0，0，)，B(0，0)，(0，)，(，0)，(2，0，0)，设n(x，y，z)为平面SBC的法向量，由n，n得yzx，可取n(1，1，1)，cos，n.故AC与平面SBC所成角的正弦值为|cos，n|.4已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A. B.C. D.解析：选A.取AC中点为D，连接BD，得为平面ACC1A1的法向量，设a，b，c，则ac，ab，cos，故AB1与平面ACC1A1所成角的正弦值为|cos，|.5已知三条射线PA，P
3、B，PC的两两夹角都是60，则二面角APBC的余弦值为()A. B.C. D.解析：选A.在PA、PB、PC上取点D、E、F使得PDPEPF，可知三棱锥DPEF为正四面体，取PE中点H，连接DH，FH，得DHF为二面角APBC的平面角，设a，b，c，则bc，ba，cos，.6在空间中，已知二面角l的大小为，n1，n2分别是平面，的法向量，则n1，n2的大小为_解析：因二面角l的大小是它们两个半平面的法向量夹角或夹角的补角当二面角l的大小为时，则n1，n2的大小为或.答案：或7如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是C1D1，CC1的中点，则直线B1N与平面BDM所成角的正弦
4、值为_解析：建立如图坐标系，D(0，0，0)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，M(0，1，2)，N(0，2，1)，(2，2，0)，(0，1，2)，(2，0，1)，设n(x，y，z)为平面BDM的法向量，由n0，n0，得yx2z，可令n(2，2，1)，cosn，故B1N与平面BDM所成角的正弦值为|cosn，|.答案：8.已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为_解析：法一：()2AA1，得AA1.易得APA1是PA与平面ABC所成角，A1P1，tanAPA1，故APA1.法二：令a，b，c，
5、则|a|b|c|，(ab)，abc，|1，|2，cos，故PA与平面ABC所成角的大小为.答案：9.在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A底面ABC，ACB90，AA1ACBC2，D为AB中点(1)求证：BC1平面A1CD；(2)求直线AA1与平面A1CD所成角的正弦值解：(1)证明：连接AC1交A1C于O点，则DO为ABC1的中位线，故DOBC1，又DO平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)以CA，CB，CC1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，A1(2，0，2)，D(1，1，0)，设平面A1DC的法向量为n(x，y，z)，由得令x1得n(
6、1，1，1)设直线AA1与平面A1CD所成角为，则sin |cos，n|.10如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，AF平面ABCD，CE平面ABCD.(1)证明：BDEF；(2)若AF1，且二面角BEFC的大小为30，求CE的长解：(1)证明：连接AC，因为AF平面ABCD，CE平面ABCD.所以AFCE，所以四边形ACEF在同一平面内，因为AF平面ABCD，所以AFBD，又因为ABCD为正方形，所以ACBD，因为AFACA，所以BD平面ACEF，所以BDEF.(2)以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(如图)设CEa，则B(1，0，0)，
7、F(0，0，1)，E(1，1，a)所以(1，0，1)，(0，1，a)设平面BEF的一个法向量为m(x，y，1)，得到所以m(1，a，1)由(1)知平面CEF的一个法向量是 (1，1，0)，所以|cos，m|cos 30.所以a2，即CE2.B.能力提升1在正四棱锥PABCD中，PA2，直线PA与平面ABCD所成角为60，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为()A90 B60C45 D30解析：选C.建立如图所示的空间直角坐标系，则PAO60，所以OP，OA1，AB，P(0，0，)，A(，0)，B(，0)，C(，0)，E(，)，(，)，(，)，cos，所以，45，即异面直线PA与BE所成
8、角为45.2.如图所示，SA底面ABC，ABBC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于D，E，又SAAB，SBBC，则以BD为棱，以BDE与BDC为面的平面角的度数为()A90 B30C60 D45解析：选C.以A为原点，以AC所在直线为y轴，以AS所在直线为z轴，以和AS，AC都垂直的直线AF为x轴，建立空间直角坐标系设SA1，因为SA平面ABC，所以是平面ABC的一个法向量因为SAAB1，SB，又SBBC，所以BC，所以AC.因为DE垂直平分SC，所以E为SC的中点，又SBC是等腰三角形，所以BESC，所以SC平面EDB，所以是平面EBD的一个法向量由题设知S(0，0，1)，E.所以(0
9、，0，1)(0，0，0)(0，0，1)，(0，0，1)，所以，|1，|1，所以cos，所以，60.两法向量所成角或其补角为两平面所成角，所以平面BDE与平面BDC所成的角为60.3空间四边形OABC中，OBOC，AOBAOC，则cos，的值是_解析：设a，b，c，则a，ba，c，|b|c|.cos，0.答案：04把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为_解析：当VDABC最大时，平面DAC平面ABC.设AC的中点为O，连接OD，OB，建立坐标系，设|a，B(a，0，0)，D(0，0，a)，(0，0，a)，(a，0，a
10、)，知为平面ABC的法向量，cos，故，45.答案：455.如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，ABAD，ABCD，AB2AD2CD2，E是PB的中点(1)求证：平面EAC平面PBC；(2)若平面PAC与平面EAC夹角的余弦值为，求直线PA与平面EAC夹角的正弦值解：(1)证明：因为PC平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACPC，因为AB2，ADCD1，所以ACBC，所以AC2BC2AB2，所以ACBC，又BCPCC，所以AC平面PBC，因为AC平面EAC，所以平面EAC平面PBC.(2)以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则C(0，0，0)，A(1，1
11、，0)，B(1，1，0)设P(0，0，a)(a0)，则E(，)，(1，1，0)，(0，0，a)，(，)，取m(1，1，0)，则mm0，所以m为平面PAC的法向量设n(x，y，z)为平面EAC的法向量，则nn0，即取xa，ya，z2，则n(a，a，2)，依题意，|cosm，n|，则a2.于是n(2，2，2)，设直线PA与平面EAC的夹角为，则sin |cos，n|，即直线PA与平面EAC夹角的正弦值为.6.(选做题)如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD2a，ADa，点E是SD上的点，且DEa(02)(1)求证：对任意的(0，2，都有ACBE；(2)设二面角CAED的大小为
12、，直线BE与平面ABCD所成的角为，若tan tan 1，求的值解：(1)证明：以D为原点，的方向分别作为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E(0，0，a)所以(a，a，0)，(a，a，a)，所以2a22a20a0，所以ACBE.(2)由(1)得(a，0，a)，(0，a，a)，(a，a，a)设平面ACE的法向量为n(x，y，z)，则由n，n得即取z，得n(，)易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为(0，0，2a)与(0，a，0)，所以sin ，cos .因为0，0，又tan tan 1，所以，所以sin cos ，所以，所以22，又因为(0，2，所以，即为所求
