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1、题多解专题三：利用导数证明不等式问题1构.造函数证明不等式的方法对于或可化为左右两边结构相同的不等式构造函数使原不等式成为形如的形式对形如构造函数对于或可化为f(x,x)A的不等式可选x或x为主元构造函数f(x,x)或12122f(珥,x).利用导数证明不等式的基本步骤作差或变形构造新的函数对求导利用h)判断的单调性或最值结论例：设f(x)ln(x+1)+x+1+ax+b(a,b,R,a,b为常数)，曲线yf(x)与直线y|x在，点相切求a)的值9x证明：当x2时，f(x)不6解题指南】(1点)在曲线上，则点的坐标满足曲线方程；同时据导数的几何意义可以建立另一个方程，求出构造函数，(利2用)导
2、数研究单调性，借助函数单调性证明不等式【解析】方法一：()由f(x)ln(x+1)+x+1+ax+b的图象过点(，)得33na0x02由f(x)ln(x+1)+x+1+ax+b在点(，)的切线斜率为込,(+.+a)xx+127x+1()当x0时，2(x+1)1x+1+1x+29x令，(x)-不6则h(x)广(x)-(x+6)2x+12x+1(x+6)254丄+154x2+_+12+x+1542十2十154_(x+6)3-216(x+1)一2(x+1)(x+6)22(x+1)(x+6)24(x+1)(x+6)2令g(x)(x+6)3216(x+1),则当x2时，g(x)3(x+6)2一216则0
3、x2时，g(x)g(0)09x所以0x2时，h(x)0,即h(x)f(x)-在()内是递减函数,x+6由h(0)0，则0x2时，h(x)h(0)=0,9x9x故0x2时，h(x)f(x)0，即f(x)x+6x+6方法二：由()知，f(x)ln(x+1)+x+11x由基本不等式，当x0时，2(x+1)1x+1+1x+2x+1+1(21x令k(x)ln(x+1)x，则k(0)=0，k，(x)=1=0x+1x+1故k(x)0，即ln(x+1)x(ii)3由(、(ii)得，当x0时，f(x)x，记h(x)(x+6)f(x)9x,贝I当0x2时，)9h，(x)f(x)+(x+6)f，(x)93x+(x+
4、6)(丄+2x+112(x+1)3x(x+1)+(x+6)(2+x+1)18(x+1)12(x+1)x3x(x+1)+(x+6)(3+-)18(x+1)2x4(x+1)(7x18)0因此h(x)在()内是递减函数，又h(0)0，得h(x)0，9x故0x2时，f(x)ln21且x0时，exx22ax+1.解析(1)由fx)UexQ2xD2a,xDR知f(x)DexQ2,xDR.令f(x)D0,得xDln2.于是当x变化时，f(x),fx)的变化情况如下表：x(一,ln2)ln2(ln2,+e)f(x)一0+fx)单调递减2(1ln2+a)单调递增故fx)的单调递减区间是(-8,In2),单调递增
5、区间是(In2,+00),f(x)在x=In2处取得极小值，极小值为f(ln2)=2(1-In2+a).(2)设g(x)=ex-x2+2ax-1,xCR,于是g(x)=ex-2x+2a,xER.由(1)知当aln2-1时，g(x)的最小值为g(In2)=2(1-ln2+a)0.于是对任意xER都有g(x)0,所以g(x)在R内单调递增.于是当aln2-1时，对任意xE(0,+o),都有g(x)g(0).而g(0)=0,从而对任意xE(0,+0),g(x)0.即ex-x2+2ax-10,故exx2-2ax+1.1x2.设函数f(x)，lnx在1,+S)上是增函数。ax1)2)求正实数a的取值范围
6、；1abab设b0,a1，求证：lnabbb解：(1)2)ax1f(x)，0对xG1,+s)恒成立，ax211a对xg1,+s)恒成立又1为所求。xxa+ba+b取x，/a1,b0,.1，bb1x方面，由(1)知f(x)，+lnx在1,+Q上是增函数，ax1a+b“a+b、“八门b、a+be,a+b1.f()f(1)，0,.一b_+ln0即lnba+bbba+ba-b1x1另一方面，设函数G(x)，xlnx(x1)G(x)，1，0(x1)xxG(x)在(W)上是增函数且在x=x0处连续，又G(1),10a+ba+b.当x1时，G(x)G(1)0,xlnx,即lnbb综上所述，1a+ba+bln
7、a+bbb3.已知函数f(x)，2x+alnx(a0)，f(x)+f(x)x+x证明：对于任意的两个正数x2，总有二-f(十)成立;解：由：f(Xf2，f宁)-=aln；g1232xx2xx而：x+x2xxi21lni20,1 212xxxx12122xxf(x)f(x)xx又因为：a0,即：i2f(12)成立。xx2212ex设a0,函数f(x)=x2a求函数f(x)的单调区间；当x=-时，函数f(x)取得极值，证明：对于任意的2133ex1，x2G2,2，丨f(x1)f(x2)3e解：f(x)=ex(x2+a一2x)ex(x一1)2+a一1(x2a)2(x2a)23 当a1时，f(x)0恒
8、成立，f(x)在(g,+8)上是增函数； 当0a1时，令f0，即(x-)2+a,，解得x1+1-a因此，函数f(x)在区间(-g,l-、：1不)内单调递增，在区间(1+L,+8)内也单调递增令f(x)0,即(x一1)2+a一10，解得1一1ax1+1a因此，函数f(x)在区间(-“匚N1+J匚7)内单调递减()当x=1时，函数f(x)取得极值，即f(2)=0,(|)2+a2x2=0，a=4.由If(x)在(-g，2)单调递增，在(1,|)单调递减，(|,+8)单调递增f(x)在x=时取得极大值2=*e;f(x)在x=-2时取得极小值e：e，3故在&2上f(x)的最大值是f(2)=Je,最小值是f(2)=33对于任意的xx2e2|,If(x1)-f(xjt.e.3
