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1、3 弹性力学平面问题的有限元法本章包括以下的内容：3.1弹性力学平面问题的基本方程3.2单元位移函数3.3单元载荷移置3.4单元刚度矩阵3.5单元刚度矩阵的性质与物理意义3.6整体分析3.7约束条件的处理3.8整体刚度矩阵的特点与存储方法3.9方程组解法3.1弹性力学平面问题的基本方程弹性力学是研究弹性体在约束和外载荷作用下应力和变形分布规律的一门学科。在弹性力学中针对微小的单元体建立基本方程，把复杂形状弹性体的受力和变形分析问题归结为偏微分方程组的边值问题。弹性力学的基本方程包括平衡方程、几何方程、物理方程。弹性力学的基本假定如下：1）完全弹性，2）连续，3）均匀，4）各向同性，5）小变形。
2、3.1.1基本变量弹性力学中的基本变量为体力、面力、应力、位移、应变，各自的定义如下。体力体力是分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。面力面力是分布在物体表面上的力，例如接触压力、流体压力。应力 物体受到约束和外力作用，其内部将产生内力。物体内某一点的内力就是应力。图3.1如图3.1假想用通过物体内任意一点p的一个截面mn将物理分为、两部分。将部分撇开，根据力的平衡原则，部分将在截面mn上作用一定的内力。在mn截面上取包含p点的微小面积，作用于面积上的内力为。令无限减小而趋于p点时，的极限S就是物体在p点的应力。 应力S在其作用截面上的法向分量称为正应力，用表示；在作用截面上的切向分量称为剪
3、应力，用表示。显然，点p在不同截面上的应力是不同的。为分析点p的应力状态，即通过p点的各个截面上的应力的大小和方向，在p点取出的一个平行六面体，六面体的各楞边平行于坐标轴。图3.2将每个上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行。用六面体表面的应力分量来表示p点的应力状态。应力分量的下标约定如下：第一个下标表示应力的作用面，第二个下标表示应力的作用方向。，第一个下标x表示剪应力作用在垂直于X轴的面上，第二个下标y表示剪应力指向Y轴方向。正应力由于作用表面与作用方向垂直，用一个下标。表示正应力作用于垂直于X轴的面上，指向X轴方向。 应力分量的方向定义如下： 如果某截面上的外法线是
4、沿坐标轴的正方向，这个截面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正；如果某截面上的外法线是沿坐标轴的负方向，这个截面上的应力分量以沿坐标轴负方向为正。剪应力互等：物体内任意一点的应力状态可以用六个独立的应力分量、来表示。位移位移就是位置的移动。物体内任意一点的位移，用位移在x，y，z坐标轴上的投影u、v、w表示。应变物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。各线段的单位长度的伸缩，称为正应变，用表示。两个垂直线段之间的直角的改变，用弧度表示，称为剪应变，用表示。物体内任意一点的变形，可以用六个应变分量表示。3.1.2平面应力和平面应变问题弹性体在满足一定条件时，其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内
5、的变形和应力的分布规律来代替，这类问题称为平面问题。平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。1） 平面应力问题设有很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度变化的面力，体力也平行于板面且不沿厚度变化。图3.3设板的厚度为t，在板面上：， ， 由于平板很薄，外力不沿厚度变化，因此在整块板上有， ， 剩下平行于XY平面的三个应力分量未知。2）平面应变问题设有很长的柱形体，支承情况不沿长度变化，在柱面上受到平行于横截面而且不沿长度变化的面力，体力也如此分布。图3.4以柱体的任一横截面为XY平面，任一纵线为Z轴。假定该柱体为无限长，则任一截面都可以看作对称面。由对称性，由于没有Z方向的位移，
6、Z方向的应变。未知量为平行于XY平面的三个应力分量，物体在Z方向处于自平衡状态。3.1.3平衡方程弹性力学中，在物体中取出一个微小单元体建立平衡方程。平衡方程代表了力的平衡关系，建立了应力分量和体力分量之间的关系。对于平面问题，在物体内的任意一点有，（3-1）3.1.4几何方程由几何方程可以得到位移和变形之间的关系。对于平面问题，在物体内的任意一点有，（3-2）刚体位移由位移u=0，v=0可以得到应变分量为零，反过来，应变分量为零则位移分量不为零。应变分量为零时的位移称为刚体位移。刚体位移代表了物体在平面内的移动和转动。由可以得到刚体位移为以下形式，由可得，将代入可得，积分后得到，得到位移分量
7、，当时，物体内任意一点都沿x方向移动相同的距离，可见代表物体在x方向上的刚体平移。当时，物体内任意一点都沿y方向移动相同的距离，可见代表物体在y方向上的刚体平移。当时，可以假定，此时的物体内任意一点P（x，y）的位移分量为，P点位移与y轴的夹角为，P点合成位移为，r为P点到原点的距离，可见代表物体绕z轴的刚体转动。3.1.5物理方程弹性力学平面问题的物理方程由广义虎克定律得到。1）平面应力问题的物理方程（3-3）平面应力问题有，2）平面应变问题的物理方程（3-4）平面应变问题有，在平面应力问题的物理方程中，将E替换为、替换为，可以得到平面应变问题的物理方程；在平面应变问题的物理方程中，将E替换
8、为、替换为，可以得到平面应力问题的物理方程。图3.5求解弹性力学平面问题，可以归结为在任意形状的平面区域内已知控制方程、在位移边界上约束已知、在应力边界上受力条件已知的边值问题。然后以应力分量为基本未知量求解，或以位移作为基本未知量求解。如果以位移作为未知量求解，求出位移后，由几何方程可以计算出应变分量，得到物体的变形情况；再由物理方程计算出应力分量，得到物体的内力分布，就完成了对弹性力学平面问题的分析。3.2单元位移函数根据有限元法的基本思路，将弹性体离散成有限个单元体的组合，以结点的位移作为未知量。弹性体内实际的位移分布可以用单元内的位移分布函数来分块近似地表示。在单元内的位移变化可以假定
9、一个函数来表示，这个函数称为单元位移函数、或单元位移模式。对于弹性力学平面问题，单元位移函数可以用多项式表示，（3-5）多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确。具体取多项，由单元形式来确定。即以结点位移来确定位移函数中的待定系数。图3.6如图3.6所示的3结点三角形单元，结点I、J、M的坐标分别为、，结点位移分别为、。六个节点位移只能确定六个多项式的系数，所以3结点三角形单元的位移函数如下，（3-6）将3个结点上的坐标和位移分量代入公式（3-6）就可以将六个待定系数用结点坐标和位移分量表示出来。将水平位移分量和结点坐标代入（3-6）中的第一式，写成矩阵形式，（3-7）令，则有（
10、3-8），A为三角形单元的面积。T的伴随矩阵为，（3-9）令（3-10）则（3-11）同样，将垂直位移分量与结点坐标代入公式（3-6）中的第二式，可得，（3-12）将（3-11）、（3-12）代回（3-6）整理后可得，令（下标i，j，m轮换）可得（3-13）单元内的位移记为单元的结点位移记为单元内的位移函数可以简写成，（3-14）把N称为形态矩阵，Ni称为形态函数。选择单元位移函数应满足以下条件：1） 反映单元的刚体位移与常量应变。2）相邻单元在公共边界上的位移连续，即单元之间不能重叠，也不能脱离。由（3-6）可以将单元位移表示成以下的形式，反映了刚体位移和常应变。 单元位移函数是线性插值函数
11、，因此单元边界上各点的位移可以由两个结点的位移完全确定。两个单元的边界共用两个结点，所以边界上的位移连续。 形态函数Ni具有以下性质：1） 在单元结点上形态函数的值为1或为0。2）在单元中的任意一点上，三个形态函数之和等于1。用来计算三角形面积时，要注意单元结点的排列顺序，当三个结点i，j，m取逆时针顺序时，；当三个结点i，j，m取顺时针顺序时，。例题：如图3.7所示等腰三角形单元，求其形态矩阵N。解：由在公式中轮换下标可以计算得，三角形积为形态函数为形态矩阵为三角形面积的计算公式可得，如果把三个结点按顺时针方向排列，即i（a，0），j（0，0），m（0，a）3.3单元载荷移置有限元法的求解对
12、象是单元的组合体，因此作用在弹性体上的外力，需要移置到相应的结点上成为结点载荷。载荷移置要满足静力等效原则。静力等效是指原载荷与结点载荷在任意虚位移上做的虚功相等。单元的虚位移可以用结点的虚位移表示为，（3-15）令结点载荷为1）集中力的移置如图3.7所示，在单元内任意一点作用集中力图3.8由虚功相等可得，由于虚位移是任意的，则（3-16）例题1：在均质、等厚的三角形单元ijm的任意一点p（xp，yp）上作用有集中载荷。2） 体力的移置令单元所受的均匀分布体力为 由虚功相等可得，（3-17）3） 分布面力的移置设在单元的边上分布有面力，同样可以得到结点载荷，（3-18）例题2：设有均质、等厚的
13、三角形单元ijm，受到沿y方向的重力载荷qy的作用。求均布体力移置到各结点的载荷。同理，例题3：在均质、等厚的三角形单元ijm的ij边上作用有沿x方向按三角形分布的载荷，求移置后的结点载荷。取局部坐标s，在i点s=0，在j点s=l，L为ij边的长度。在ij边上，以局部坐标表示的插值函数为，载荷为3.4单元刚度矩阵 根据单元的位移函数，由几何方程可以得到单元的应变表达式，（3-19）记为，B矩阵称为几何矩阵。B矩阵可以表示为分块矩阵的形式（3-20） 由物理方程，可以得到单元的应力表达式，（3-21） D称为弹性矩阵，对于平面应力问题， 定义为应力矩阵。将应力矩阵分块表示为，（3-22）应用虚功原理可以建立单元结点位移与结点力的关系矩阵，单元刚度矩阵。虚功原理：在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生了虚位移，则所有外力在虚位移上做的虚功等于内应力在虚应变上做的虚功。单元的结点力记为单元的虚应变为单元的外力虚功为，单元的内力虚功为，由虚功原理可得，
