《平面向量在解析几何的应用策略分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面向量在解析几何的应用策略分析（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、平面向量在解析几何中的应用与求解策略一、利用向量，可以很方便地解决有关平行、垂直、距离等相关问题，其基本理论是：b（一）、直线的方向向量 ：直线 L 的方向向量为m=（ a,b),则该直线的斜率为 k= a（二）、利用向量处理平行问题：=(x,y对非零向量 a =(x1,y ), b), a b 的充要条件是：有且仅有一个122=( b0 ) 的充要条件是 ?x1y2-x 2y1=0；实数 ，使得 ab ；亦即 a b a b（三）、利用向量求角： 设 a =(x 1,y 1),b =(x 2 ,y 2), 则两向量 a 、 b 的夹角： cos = cos =|a |b1212=x x+y
2、y其特殊情况即为垂直问题：对非零向量a =(x 1,y 1),b2222x1 +y1x2 +y2=(x 2,y 2),x1x2- y 1y2=0；a b 的充要条件是 a b =0?（四）、利用向量求距离： 222；设 a =(x,y),则有 | a |=a =x +y( x1x2 )2( y1y2 )2若 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 | AB|=二、典例分析：【题 1】、点 P（-3,1 ）在椭圆 x2y21(ab0) 的左准线上 .a2b2的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为:()过点 P 且方向为 a =(2,-5)（ A）3
3、（B） 1(C)2（D） 13322所以 KPQ5 , 则 l PQ ; y15 ( x3) ； 解析 ：如图 , 过点 P（ -3 ，1）的方向向量 a =(2,-5);22即 LPQ ;5x2 y13 ; 联立：5x2y13得 Q(9 ,2) ， 由光线反射的对称性知：K QF15y252所以 LQF ; y259)，即 LQF1 :5x2y50 ; 令 y=0, 得 F （ -1 ， 0 ） ; 综上所述得：c=1 ，( x1251a 23,则 a3 ; 所以椭圆的离心率ec13 .故选 A。ca33=(2,-5)，则立即有直线的斜率为 点 拨 ： 本 题 中 光 线 所 处 直 线 的
4、 方 向 向 量 是 aK PQ5 ,从而有 lPQ 方程为 : y15 ( x3) 。22【题 2 】设椭圆 x2y21 上一点 P 到左准线的距离为10， F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足2516.uuuur1 uuuruuuruuuurOM(OPOF)，则|OM |2|PF|=6 ，再由第一定义则|PF |=4 ；由于解：依据椭圆的第二定义则有：uuuur1 uuuruuurM处于 PF 的中点OM(OPOF ) ，由向量加法的平行四边形法则，则点2uuuur处，故由中位线定理可知|OM | 2。uuuur1uuuruuurM点拨 ：本题中的向量条件OM2(OPOF ) ，抓住向量加法
5、的平行四边形法则，从而转化得出点处于 PF 的中点位置。【例题 3】已知 A,B 为椭圆 x2y2x2y21的公共顶点 ,P,Q 分别为双曲线和椭a2b21(ab0) 和双曲线 a2b2 R,|1),设 AP,BP,AQ,BQ斜率分别为 k1,k 2,k 3,k 4, 求圆上不同于 A,B 的动点 , 且有 AP+BP= ( AQ+BQ)(证 :k 1 +k2+k3+k 4 为一个定值 .解、点 A(-a,0)； B(a,0) ；由 AP+BP= ( AQ+BQ), 依据向量加法的平行四边22形法则 , 则有 O、 Q、 P 三点共线；设11P(x 1,y 1) 、Q（ x2， y2）, 则
6、x 2 -y 2 =1,ab则 x2-a2a22； k +k=y1+y1=2x1y12b2x11= 2 y11122=2 1；b112x +ax -ax -aay-2b 2x2x1x2同样有 k3+k 4=a2y2；由于 y1=y2， 所求的定值为 0。 点拨：本题中的向量条件 , 从而转化得出了O、 Q、: AP+BP= ( AQ+BQ)，通过向量加法的平行四边形法则P 三点共线；然后再继续进行推理、求解，从而得出结论。【例题 4】(2007 年全国高考理科 12 题) 设F为抛物线y24x的焦点，A BC为该抛物线， ，uuuruuuruuuruuuruuuruuur上三点，若 FAFBFC0，则 FAFBFC（）A 9B 6C 4D 3解：抛物线的焦点 F（ 1，0）设 A 、B、C 三点的坐标分别为( x1 , y1 ) 、( x2 , y2 ) 、( x3 , y3) ；1, y3 ) ，则有 FA=( x11, y1 ) ， FB=(x2 1, y2 ) ， FC=( x3uuuruuuruuur
