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1、第06讲-函数的奇偶性与周期性一、 考情分析1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义.二、 知识梳理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点奇函数设函数yf(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，且f(x)f(x)，则这个函数叫做奇函数关于原点对称偶函数设函数yg(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，且g(x)g(x)，则这个函数叫做偶函数关于y轴对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这
2、个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.微点提醒1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|).2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0).(2)若f(xa)，则T2a(a0).(3)若f(xa)，则T2a(a0).4.对称性的三个常用结论(1)若函数yf(xa)
3、是偶函数，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称.(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称.(3)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)关于点(b，0)中心对称.三、 经典例题考点一判断函数的奇偶性【例1-1】(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)【解析】(1)由得x23，解得x，即函数f(x)的定义域为，从而f(x)0.因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)由得定义域为(1，0)(0，1)，关于原点对称.x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函数f(x)为奇
4、函数.(3)显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称.当x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)成立，函数f(x)为奇函数.【例1-2】（2020枣庄市第三中学高二月考）设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A是偶函数B是奇函数C是奇函数D是奇函数【答案】C【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论【详解】解：是奇函数，是偶函数，故函数是奇函数，故错误，为偶函数，故错误，是奇函数，故正确为偶函数，故错误，故选：规律方法判断函数的奇偶性，其中包括两
5、个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立.考点二函数的周期性及其应用【例2-1】 (1)(2020南充一模)设f(x)是周期为4的奇函数，当0x1时，f(x)x(1x)，则f()A. B. C. D.(2)(2019山东期末)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2).若当x3，0时，f(x)6x，则f(919)_.【解析】(1)f(x)是周期为4的奇函数，
6、fff又0x1时，f(x)x(1x)故ff.(2)f(x4)f(x2)，f(x2)4f(x2)2，即f(x6)f(x)，f(919)f(15361)f(1)，又f(x)在R上是偶函数，f(1)f(1)6(1)6，即f(919)6.规律方法1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.2.若f(xa)f(x)(a是常数，且a0)，则2a为函数f(x)的一个周期.第(1)题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了解题过程.考点三函数性质的综合运用【例31】（2020四川省泸县第四中学高三三模（理）定义运算，则函数的大致图象是（ ）ABC
7、D【答案】A【分析】图象题应用排除法比较简单，先根据函数为奇函数排除、；再根据函数的单调性排除选项，即可得到答案【详解】根据题意得，且函数为奇函数，排除、；当时，令，令，函数在上是先递减再递增的，排除选项；故选：【例32】（2020湖北省武汉二中高二期中）已知函数是定义在上的奇函数，且在单调递增.设，当时，恒有，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【分析】结合奇函数的性质，函数为增函数，对分类讨论，即可求解.【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且在单调递增，所以，在上为增函数，由题意得，否则不成立，当时，且，即时，恒成立，当时，且，故当时，不成立.综上所述，【例33】（2020湖南省雅礼中学
8、高三月考（理）定义在实数集上的偶函数满足，则_.【答案】【分析】，令，则，进一步可得函数的周期为4，解方程即可.【详解】因为，所以，即，即，令，则，所以故函数的周期为4，所以，又因为是偶函数，则为偶函数，又因为，所以，即，解得，又，即，即.故答案为：规律方法1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.2.本题充分利用偶函数的性质f(x)f(|x|)，避免了不必要的讨论，简化了解题过程.规律方法周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类
9、问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.方法技巧1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性.3.在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期”的应用.易错防范1.f(0)0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.2.函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(ax)f(b
10、x)(ab)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.四、 课时作业1函数()A是奇函数B是偶函数C是非奇非偶函数D既是奇函数又是偶函数【答案】C【解析】函数的定义域为0，)，不关于原点对称，所以函数f(x)是非奇非偶函数2关于函数，下列说法错误的是（ ）A是奇函数B是周期函数C有零点D在上单调递增【答案】B【解析】对于A，函数定义域为，且，则为奇函数，故A正确；对于B，若是周期函数，设其最小正周期为，则，即，变形得，对任意恒成立，令，可得，设，而，所以只有唯一的解，故由，由此可知它不是周期函数，故B错误；对于C，因为，在上有零点，故C正确；对于D，由于，故在上单调递增，故D正确.3下
11、列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（ ）ABCD【答案】D【解析】由基本函数的性质得：为偶函数，为非奇非偶函数，为非奇非偶函数，为奇函数，且在区间上单调递减.4函数在单调递减，且为奇函数若，则满足的的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】函数在为奇函数若，满足则：函数在单调递减即：5已知函数为奇函数,且当时, ,则 ( )A-2B0C1D2【答案】A【解析】因为是奇函数，所以，故选A.6已知是定义在上的偶函数，且，如果当时，则（ ）A3B-3C2D-2【答案】C【解析】由，得，所以是周期为8的周期函数，当时，所以，又是定义在R上的偶函数所以.7已知定义在上的函数满足：，当时，有，则
12、等于（ ）ABCD【答案】B【解析】由，则，则，则，即；故选：B8已知函数的定义域为的奇函数，当时， ，且， ，则ABCD【答案】B【解析】因为，所以函数图像关于 对称因为的定义域为的奇函数，所以函数的周期为T=4所以因为函数图像关于 对称所以 所以选B9（多选）已知函数，则下列对于的性质表述正确的是（ ）A为偶函数BC在上的最大值为D在区间上至少有一个零点【答案】ABCD【解析】因为，所以其的定义域为，A选项，所以函数为偶函数，故A正确；B选项，故B正确；C选项，因为，当，单调递增，所以单调递减，因此，故C正确；D选项，因为，所以，即，由零点存在性定理可得：在区间上存在零点，故D正确；10（
13、多选）已知函数是上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，给出下列结论，其中正确的是( )AB点是函数的图象的一个对称中心C函数在上单调递增D函数在上有3个零点【答案】AB【解析】在中，令，得，又函数是上的奇函数，所以，故是一个周期为4的奇函数，因是的对称中心，所以也是函数的图象的一个对称中心，故A、B正确；作出函数的部分图象如图所示，易知函数在上不具单调性，故C不正确；函数在上有7个零点，故D不正确.11（多选）已知函数是定义在R上的奇函数，对都有成立，当且时，有.则下列说法正确的是（ ）AB在上有5个零点CD直线是函数图象的一条对称【答案】ABC【解析】对都有成立,则是以2为周期的周期函数.当且时，有，则在上单调递减.由函数是定义在R上的奇函数有，又是以2为周期的周期函数，有，所以可得，所以A正确.由，则，为奇函数，则，又是以2为周期的周期函数，则.又在上单调递减且，则时.由为奇函数，所以则时.根据是以2为周期的周期函数 ，则时，时所以在上有，有5个零点,故B正确由是以2为周期的周期函数有，故C正确. 由上可知，当时，时，则其图
