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1、中考数学中的开放性问题江苏省泰州市九龙实验学校 顾广林 （此文在国家级核心期刊中学数学教学参考2007.4上发表） 新课程标准把逐步形成数学创新意识列为教学目标,各地中考数学命题为了实现这个目标都做了有益的尝试,并在不同程度上给予体现,主要表现在涌现出不少别具创意、独特新颖的探索规律、条件、结论的开放性问题。这类试题不仅考查了学生观察、实验、类比、归纳、猜想、判断、探究等能力而且把解题的过程、考试的过程，变成了学生研究的过程，变成了探索规律、发现规律的过程。尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用.下面例析活跃在2006年中考数学试题中的开放性试题. 一、开放题常见的题型开放性试题
2、从结构特征上看主要分为三类：条件开放题、结论开放题及条件和结论都开放的试题。开放题是相对于传统的封闭题而言的，其显著特征是问题的答案不唯一（开放性），并且在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索 1条件开放型例1（2006 海口）如图， D、E分别在AC、AB上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为合适的条件：_，使得ADEABC.ABCDE分析：这是一道条件开放题，只要寻求其成立的一个充分条件即可.如ADE=B或AED=C或AD：AB=AE：AC等B或AED=C或AD：AB=AE：AC等. 评注：在上述问题中，结论已知，而条件需探求，并且具有开放性，这类问题称为条件开放题在解决此类
3、问题时，通常采取执果索因的策略进行探求这类题型虽然考查的都是基础知识，但是给学生较大的思考空间，不是被动地套用解题模式，而是在问题情景中创造性地解决问题.2结论开放型（图4）例2（2006 南昌）如图AB是O的直径，BC是O弦ODCB于点E，交于点D（1）请写出三个不同类型的正确结论：（2）连结CD，设CDB=，ABC=，试找出与之间的一种关系式并给予证明.解：（1）不同类型的正确结论不惟一以下答案供参考： BE = CE； = ； BED = 90； BOD =A； ACOD；ACBC； ； SABC = BCOE； BOD是等腰三角形； BOE BAC；等等（2）与的关系式主要有如下两种形
4、式 答；与之间的关系式为-=90. 证明：AB为O的直径，A+ABC=90 又四边形ACDB为圆的内接四边形，A+CDB=180CDB-ABC=90,即- = 90. 答与之间的关系式为2. 证明 OD=OB， ODB= OBD又 OBD=ABC+CBD， ODBABCODBC，CD=BDCDO=ODB=CDB，CDBABC，即2 评注：本题是在一定条件下，探求问题的结论，属于结论开放题解决此类问题时，通常采用由因导果的策略进行探求。这类问题结论开放，学生可自主探索，自由发展，而第（2）小问中渗透的开放性问题，对知识的整合大有裨益。解决这类问题的关键是通过观察、分析，发现图形所具有的特征及其中
5、隐含的关系这道开放题留给学生很大的想象空间.充分显示出思维的多样性，同时也体现了不同学生对数学学习的个性化.教学中要引导学生多角度、多层次、多渠道地解答开放性的问题，培养学生的个性，从而全方位培养学生的创造能力.3条件和结论都开放型例3（2006 汉川）如图，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题_.DABCEO(1)AE=AD (2)AB=AC (3)OB=OC (4)B=C分析：，四个条件任取二个，共有6种不同的组合要求写出相应的6种命题并一一进行研究，这是一个很有价值的研究性课题本题中只要求写出一个命题，具有明显的开放性通过证明ABEACD，即可组建真
6、命题（1）（2）（4）；（2）（4） （1）；（1）（4） （2）等。点评：本题是条件和结论都开放的试题，可以充分考查学生对几何知识点的整合能力，它一改过去的传统模式，鼓励探究、关注过程，体现了“不同的人在数学上得到不同的发展”这一新课程理念。这类开放性试题旨在让学生经历多角度认识问题，多策略思考问题，尝试解释不同答案合理性的数学活动，培养和提高创新意识及自主探索新知识的能力.二、按知识分类操作设计类开放题例8 （2006 大连）如图-l，P为RtABC所在平面内任意一点(不在直线AC上)，ACB=90，M为A B边中点 操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连结PM并延长到点E，使M
7、E=PM，连结DE 探究：(1)请猜想与线段DE有关的三个结论； (2)请你利用图2、图3选择不同位置的点P按上述方法操作； (3)经历(2)之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；(注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分) (4)若将RtABC改为“任意ABC，其他条件不变，利用图-4操作，并写出与线段DE有关的结论(直接写答案)分析：(1)DEBC，DE=BC，DEA C (2)如图4、如图5(3)不同的方法见图评注：本题是一道操作型试题，这类问题的方案往往具有很强的开放性本题中已经就直角三角形的情形给出了提示，这样就降低
8、了问题的开放性与难度 数学课程标准明确提出“动手实践”是学生学习数学三种重要方式之一。所以，数学学习无论是内容还是方法都要重视“实验”，在“实验操作”中使学习活动成为一个生动活泼、主动并富有个性的过程，以后这方面考查的力度会增强，因此教学中要注重实践活动，落实动手能力。公路CAD（图5）例4（2006 潍坊）如图5，河边有一条笔直的公路，公路两侧是平坦的草地在数学活动课上，老师要求测量河对岸点到公路的距离，请你设计一个测量方案要求：（1）列出你测量所使用的测量工具；（2）画出测量的示意图，写出测量的步骤；（3）用字母表示测得的数据，求出点到公路的距离解：（1）测角器、尺子；（2）测量示意图见右
9、图，测量步骤如下：在公路上取两点，使为锐角；用测角器测出；用尺子测得的长，记为米；计算求值（3）解：设到的距离为米，作于点，在中，在中，评注：本题要求设计的测量方案具有开放性，因此该题属于设计方案类开放题解决此类问题，往往采用构造数学模型的策略来进行求解2猜想型开放题例6.（2006 济南）定义一种对正整数n的“F”运算：当n为奇数时，结果为3n5；当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行例如，取n26，则：26134411第一次F第二次F第三次F若n449，则第449次“F运算”的结果是_解析：根据定义的“F”运算算几步：449，就会发现规律，结果是8.点评：所谓猜
10、想归纳，是指通过对已给出的材料和信息对研究的对象进行观察、实验、比较、归纳和分析综合，作出符合一定规律与事实的推测性想象，从而发现一般规律。它是发现和认识规律的重要手段.平时的教学不能局限于课本，可以设计一些猜想性、类比性的活动，让学生经历一个观察、试验等活动过程，在活动中通过对大量特殊情形的观察猜想出一般情形的结论，从而探索事物的内在规律. 3概率类开放题例5（2006 泰州）三人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球（1）用列表或画树状图的方法求经过3次传球后，球仍回到甲手中的概率是多少？（2）由（1）进一步探索：经过4次传球后，球仍回到甲手中的不同传球的方法共有多少种？（3）就传球次数
11、与球分别回到甲、乙、丙手中的可能性大小，提出你的猜想（写出结论即可）分析：（1）易得三次传球后P(球回到甲手中)=1/4 (2)经过4次传球后球仍然回到甲手中的不同传球方法共有6种(3)猜想：当n为奇数时，P(球回到甲手中)P(球回到乙手中)=p(球回列丙手中)评注：本题（1）是常规的概率计算；（2）是在（1）基础上的进一步探索；（3）则是在前两问之下让你“提出你的猜想”这个过程蕴含着发现数学结论的策略和方法，能够有效地考查学生的推理和探究能力。事实上，出活题，考能力，一直是中考命题的方向，许多中考试卷把改变问题的叙述方法，使问题具有开放性，着力考查学生的数学探究能力放在重要位置，这样既提高了
12、数学试卷在考查学生数学能力方面的效度和区分度，又有利于促使教师在教学中重视数学知识的发生、发展过程，发展学生的数学素养，提高教学质量。 4几何推理开放题（2006 江西）问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题： 如图1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若BON = 60，则BM = CN. 如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若BON = 90,则BM = CN.然后运用类比的思想提出了如下的命题： 如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若BON
13、 = 108，则BM = CN.任务要求 （1）请你从、三个命题中选择一个进行证明； （2）请你继续完成下面的探索： 如图4，在正n（n3）边形ABCDEF中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，问当BON等于多少度时，结论BM = CN成立？（不要求证明） 如图5，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，当BON = 108时，请问结论BM = CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.（1）我选 .分析：（1）命题只要证明BCM CAN. 命题只要证明BCM CDN. 命题只要证明BCM CDN.（2） 当BON = 时，
14、结论BM = CN成立. 2 BM = CN成立.评注：这是一道结论性探究开放题，它具有综合性、探究性、和开放性。本题从特殊图形（正三角形、正方形）出发，由确定的角度寻找线段的大小关系，是展开探索的主线。整个题目充分体现了几何图形内在的规律与结论，给学生创造了自主探究的机会和空间，让学生再次经历了课堂上的活动过程。该题摆脱了原来几何试题单一的演绎模式，而是从特殊到一般地引申推广，这是数学研究的重要方式，有利于考查学生参与数学学习过程的程度，也是考查学生创新能力的重要途径。5动态几何开放题(2006 东营)半径为2.5的O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P已知BC:CA = 4:3，点P在 上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q（1）当点P运动到与点C关于AB对称时，求CQ的长；（2）当点P运动到AB弧的中点时，求CQ的长(3)当
