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1、极限计算措施总结高等数学是理工科院校最重要的基本课之一，极限是高等数学的重要构成部分。求极限措施众多,非常灵活,给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到高等数学背面内容的学习。下面先对极限概念和某些成果进行总结，然后通过例题给出求极限的多种措施,以便学员更好地掌握这部分知识。一、极限定义、运算法则和某些成果1.定义:（多种类型的极限的严格定义参见高等数学函授教材，这里不一一论述）。阐明：（1）某些最简朴的数列或函数的极限(极限值可以观测得到)都可以用上面的极限严格定义证明,例如：；;；等等 (2）在背面求极限时,（1)中提到的简朴极限作为已知成果直接运用，而不需再用极限严格定义证
2、明。2极限运算法则定理1 已知 ,都存在,极限值分别为A,则下面极限都存在，且有 （1)(2)(3) 阐明:极限号下面的极限过程是一致的;同步注意法则成立的条件，当条件不满足时,不能用。3两个重要极限（) (） ; 阐明：不仅要可以运用这两个重要极限自身，还应可以纯熟运用它们的变形形式, 作者简介：靳一东,男,(1964），副专家。例如:,；等等。 .等价无穷小 定理无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是）。定理3 当时，下列函数都是无穷小(即极限是0)，且互相等价，即有： 。阐明:当上面每个函数中的自变量x换成时（）,仍有上面的等价关系成立，例如：当时, ; 。 定理4 如果函数都是时
3、的无穷小，且,则当存在时，也存在且等于，即=。.洛比达法则 定理5假设当自变量趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足:（1)和的极限都是0或都是无穷大; （2)和都可导，且的导数不为0； (）存在（或是无穷大); 则极限也一定存在，且等于，即= 。阐明:定理称为洛比达法则,用该法则求极限时,应注意条件与否满足，只要有一条不满足,洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）与否满足,即验证所求极限与否为“”型或“”型；条件(2）一般都满足，而条件(3）则在求导完毕后可以懂得与否满足。此外,洛比达法则可以持续使用,但每次使用之前都需要注意条件。6持续性 定理6一切持续函数在其定义去间内的点处都持续
4、，即如果是函数的定义去间内的一点,则有 。7.极限存在准则 定理7（准则1） 单调有界数列必有极限。 定理(准则） 已知为三个数列，且满足:() (2) , 则极限一定存在，且极限值也是 ，即。二、求极限措施举例1 用初等措施变形后,再运用极限运算法则求极限例 解:原式= 。注：本题也可以用洛比达法则。例2 解：原式=。例3 解:原式 。2 运用函数的持续性(定理)求极限例 解:由于是函数的一种持续点, 因此原式= 。3 运用两个重要极限求极限例5解：原式= 。注：本题也可以用洛比达法则。例6 解：原式= 。例7 解：原式= 。4 运用定理2求极限例8解：原式=0 (定理2的成果）。5 运用等
5、价无穷小代换(定理4)求极限例9 解:，,原式= 。例1 解:原式=。注:下面的解法是错误的: 原式= 。 正如下面例题解法错误同样: 。例11 解：， 因此， 原式= 。（最后一步用到定理2）6 运用洛比达法则求极限阐明：当所求极限中的函数比较复杂时，也也许用到前面的重要极限、等价无穷小代换等措施。同步，洛比达法则还可以持续使用。例12 （例4)解：原式= 。(最后一步用到了重要极限)例13 解：原式。例14 解:原式= 。(持续用洛比达法则，最后用重要极限)例15 解:例18 解:错误解法:原式= 。 对的解法:应当注意,洛比达法则并不是总可以用,如下例。例19 解：易见:该极限是“”型,但用洛比达法则后得到:，此极限不存在,而本来极限却是存在的。对的做法如下：原式=（分子、分母同步除以x） = （运用定理1和定理2)7 运用极限存在准则求极限例20 已知,求解：易证:数列单调递增,且有界（0）,由准则1极限存在，设 。对已知的递推公式两边求极限，得:,解得：或(不合题意,舍去）因此 。例2 解：易见：由于 ,因此由准则得： 。
