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1、从平面向量到空间向量2空间向量的运算(学案二)学习目的1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题.自主整理1. 空间两个向量a和b的数量积是一个数，等于，记作a b,即 a b=.2. 空间向量的数量积的运算律 .(1)交换律：；(2)分配律：；(3) (入 R).3. (1) |a|=；(2 )a 丄 b；(3 )cos a,b=(a 丰 0,b )_04. 对于任意一个非零向量a,我们把叫作向量a的单位向量，记作与a同方向.例题讲解a,点E,F,G分别是D【例1】如
2、图，已知空间四边形 ABCD的每条边和对角线长都等于AB,AD,DC的中点.求下列向量的数量积：(1) AB AC ;(2) AD BD;(3)GF BD ;(4) EF BC .变式训练1已知在空间四边形 OABC中,OB=OC,AB=AC,求证:0A丄BC.【例2】如图所示，在空间四边形 OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5, / OAC=45，/OAB=60 求OA与BC夹角的余弦值变式训练2如图，已知 ABC是正三角形,PA丄平面ABC,且PA=AB=a,求PB和AC所成的角的大小2【例3】如图，已知空间四边形 ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点M,N分别是边AB,
3、CD的中点.(1)求证:MN为AB和CD的公垂线；(2)求MN的长;(3)求异面直线AN与MC所成角的余弦值.变式训练3.如图，平行六面体 ABCD A1B1C1D1中,以顶点 A为端点的二条 棱长都为1,且两两夹角为60ADn(1)求AC1的长；(2)求AC1与面ABCD所成的角.筋练习作业1已知 |a|=2,|b|=3,a,b=60。，则 |2a-3b|等于（）D.61A. 97B.97C. . 612. 下列各命题中，不正确的命题的个数为（） a a =|a| m（入 a） b=（m入）a ,（m,入 R） a （b+c）=（b+c） a a2b=b2aA.4B.3C.2D.13. 已知
4、非零向量a,b不平行，并且其模相等，则a+b与a-b之间的关系是（）A.垂直B.共线C.不垂直D.以上都可以4. 已知 PA丄平面 ABC, / ABC=120 ,PA=AB=BC=6,贝U PC 等于（）A.62B.6C.12D.1445. 已知向量a,b,c两两之间的夹角都为60。，其模都为1,则|a-b+2c|等于（A. . 5B.5C. 6D.66. 已知i,j,k是两两垂直的单位向量，a=2i-j+k,b=i+j-3k,则a b等于（）A.-2B.-1C. D.27.已知在平行六面体 ABCD A B C中,AB=4,AD=3,AA =5, BAD=90 , / BAA = , DA
5、A =60 J AC 等于（）A.85B. . 85C.5 i 2D.508.在四面体SABC中，各棱长均为a,E,F分别是SC和AB的中点， 则异面直线EF与SA所成的角等于 （）A.90 B.60 C.45 D.30 9.已知a,b是夹角为60 的两单位向量，而c丄a,c丄b,且 |c|= ,3 ,x=2a-b+c,y=3b-a-c,则 cos x,y10.已 知 |OA|=5,|OB|=2, OA , OB =60 ,OC =2 OA + OB ,OD = OA-2OB ,则415. 如图所示，在正方体 证:A10丄平面 GBD.ABCD A1B1C1D1中,0为AC与BD的交点,G为C
6、C1的中点，求以OC,OD为邻边的口OCED的对角线 0E的长为11. 已知线段AB的长度为6,2, AB与直线I的正方向的夹角为120。，则AB在I上的射影 的长度为.12. 已知 |a|=3r2 ,|b|=4,m=a+b,n=a+ Xdbb=135 ,m丄 n,则入 nn13. 设 a丄b,a,c= ,b,c =,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则向量 a+b+c 的模是3614. 在直二面角的棱上有两点A,B,ACAB,设 AB=8 cm,AC=6 cm,BD=24 cm,6如图所示，正方形ABCD与正方形 ABEF边长均为1,且平面ABCD丄平面ABEF,点M在AC上移动，点N在
7、BF上移动若CM=BN=a(Oa，那么空间两个向量a,b的夹角的a *b余弦cos a,b =，这个公式可用来求空间两直线所成的角|a|b|4. 在空间两个向量的数量积中，特别地aa=|a|a|cos0=|a|2,所以向量a的模|a|= . a2，这个公 式可用来求空间中线段的长度.将其推广为：|a b|=(.a _ b = a _2a *b b2 )2;|a+b+c|= . (a b c)2 二 a2 b2 c2 2a *b 2b * c 2c * a2 2 2 2=(a+b+c) =a +b +c +2a b+2b c+2c a.5. 对于三个不为0的向量若a b=a c，不能得出b=c，
8、即向量不能约分.kk6. 若a b=k，不能得出a= 或b=,即向量不能进行除法运算.ba7. 对于三个不为0的向量，(a b)c工，即向量的数量积不满足结合律.8. 如何利用向量知识求线段的长度？7将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用|a|2=(a)2来求解.选择基底时，应注意三个基向量两两之间的夹角应 该是确定的，已知的或可以求出的具体求模时，可分为两种不同情况：(1)不建坐标系，直接进行向量运算；(2)建立坐标系，用距离公式求线段长度9. 如何利用空间向量知识求异面直线所成的角？面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方
9、向向量的夹角得到，具体计算时可以用基向量表示，也可以用坐标运算进行但在求异面直线所成的角时，应注意 异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向量的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的 补角从平面向量到空间向量 学习目的空间向量的运算(学案二)1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题.自主整理1. 空间两个向量a和b的数量积是一个数，等于a bcoSa,b，记作a -b，即a = a b coga
10、, b).2空间向量的数量积的运算律 (1)交换律:a b=b a; - (2)分配律:a (b+c)= a b + a c; - (3)入(a - b)= ( ( XaR). - b3.(1) |a|= a a ;(2) a 丄 b= = a b=0;a b(3) cos a,b = (a 丰 0,b 丰 0).|a|b4. 对于任意一个非零向量a，我们把叫作向量a的单位向量，记作与a同方向.例题讲解a,点E,F,G分别是D【例1】如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于AB,AD,DC的中点求下列向量的数量积：(1) AB - AC;(2)AD BD;(3)GF BD;(4)
11、EF BC .解析：由于空间四边形 ABCD各棱长都等于a,所以表面中各三角形均为正三角形所以有AB , AC , AD两两之间的夹角均为60用数量积的定义求解即可答案：(1)在空间四边形 ABCD中|AB|=|AC|=a且AB , AC =60所以AB所以AD 1 2AC =a acos60 = a .(2)| AD |=a,| BD |=a, AD , BD =60 29212BD=a cos60 = -a .(3)| GF |=21a,|AC|=a，又 GF / AC, GF , AC =n,2所以GF1 2 1 2 1 AC = ?acos 冗亠？ a .(4)因为 |EF|=a,|B
12、C|=a, EF / BD,所以EF , BC = BC ,BD 1 2 1 2=60。所以 BC EF =丄 a2cos60 =1 a2.2 4小结 直接求两个向量的数量积时,应选取好基底，三个基向量的选取很重要三个向量两两之间夹角已知或可求,最好是特殊角，然后利用定义求解变式训练1已知在空间四边形 OABC中,OB=OC,AB=AC,求证:OA丄BC. 证明：因为 OB=OC,AB=AC,OA=OA,9所以 OAC OAB.所以/ AOC= / AOB. 1因为 OA BC =0A (0C OB)=OAOC OAOB= |OA|OC |cos/ AOC- |OA|OB|cos/ AOB=0
13、.所以 OA 丄 BC.【例2】如图所示，在空间四边形 OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5, / OAC=45，/OAB=60求OA与BC夹角的余弦值.解析：求异面直线所成的角，可以用常规方法，也可以用向量夹角公式求解,cos OA, BC = OA * BC，应先求出EC .|OA|BC |答案：因为 BC = AC - AB ,所以 OA BC = OA -AC-OA -AB=| OA| | AC | cos OA, AC -| OA| | AB | cos OA, AB =8X4xcos135 -8 為xcos120=24-162.所以 cos OA,BC =处竺=243 2 .所以 oa 与 bc 夹角|OA|BC |855的余弦值为3-2 .25小结用向量夹角公式解决异面直线所成角的问题时，应注意角的范围，向量夹角范围是:0180 ,异面直线所成的角的范围是(0 ,90 ，当用夹角公式求出的角为钝角时，它的补角才等于异面直线所
