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1、9.5 直线与圆的综合应用一、填空题1.若圆的圆心到直线x-y+a=0的距离为则a的值为_ 解析 圆心为(1,2),利用点到直线的距离公式得化简得|a-1|=1,解得a=0或a=2. 2直线yx绕原点按逆时针方向旋转30，则所得直线与圆(x2)2y23的位置关系是_解析由题意可得旋转30后所得直线方程为yx，由圆心到直线距离可知是相切关系答案相切3若圆(x3)2(y5)2r2上有且只有两个点到直线4x3y20的距离等于1，则半径r的取值范围为_解析由圆心(3，5)到直线的距离d5，可得4r6.答案(4,6)答案2或0 4已知直线axbyc0与圆O：x2y21相交于A，B两点，且AB，则_.解析
2、由题可知AOB120，所以|cos 120.答案5已知x，y满足x2y24x6y120，则x2y2最小值为_解析法一点(x，y)在圆(x2)2(y3)21上，故点(x，y)到原点距离的平方即x2y2最小值为(1)2142.法二设圆的参数方程为则x2y2144cos 6sin ，所以x2y2的最小值为14142.答案1426若直线yxb与曲线x恰有一个交点，则实数b的取值范围是_解析 利用数形结合的方法，曲线x表示在y轴右侧的半个单位圆(含边界)，直线yxb表示斜率为1，在y轴上截距为b的直线，注意到b1时有两个交点及b时直线与圆相切，所以实数b的取值范围是1b1，b.答案 1b1，b7已知曲线
3、C：(x1)2y21，点A(2,0)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是_解析设过A点的C的切线是yk(x2)，即kxy2k0.由1，得k.当x3时，y5k.答案8设圆x2y21的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B，则线段AB长度的最小值为_解析 设切点为D，OAB，则连接OD知ODAB，从而得到AD，BD，所以线段AB，则线段AB长度的最小值为2.答案 29圆C：x2y22x2y20的圆心到直线3x4y140的距离是_解析圆心为(1,1)，它到直线3x4y140的距离d3.答案310如果圆C：(xa)2(ya)218上总存在两个点到原点的距离为，则
4、实数a的取值范围是_解析由题意，圆C上总存在两个点到原点的距离，即圆C与以O为圆心，半径为的圆总有两个交点，即两圆相交，所以有|3|CO|3，即2|a|4，解得4a2或2a4.答案(4，2)(2,4)11若直线mxny4和圆O：x2y24没有公共点，则过点(m，n)的直线与椭圆1的交点个数为_解析由题意可知，圆心O到直线mxny4的距离大于半径，即得m2n24，所以点(m，n)在圆O内，而圆O是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m，n)在椭圆内，因此过点(m，n)的直线与椭圆必有2个交点答案212若过点A(0，1)的直线l与曲线x2(y3)212有公共点，则直线l的斜率的取值范围为
5、_解析该直线l的方程为ykx1，即kxy10，则由题意，得d2，即k2，解得k或k.答案13直线l：axby80与圆C：x2y2axby40(a，b为非零实数)的位置关系是_解析圆的标准方程为224，且40，即a2b216，圆心C到直线axby80的距离dr(r是圆C的半径，则直线与圆相交)答案相交二、解答题14已知方程x2y22x4ym0.(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x2y40相交于M，N两点，且OMON(O为坐标原点)，求实数m的值；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程解析(1)原圆的方程可化为(x1)2(y2)25m，所以m5.(2)设
6、M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x142y1，x242y2，则x1x2168(y1y2)4y1y2.因为OMON，所以x1x2y1y20，所以168(y1y2)5y1y20，由得5y216ym80，所以y1y2，y1y2，代入得m.(3)以MN为直径的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0，即x2y2(x1x2)x(y1y2)y0.所以所求圆的方程为x2y2xy0.15如图，已知圆心坐标为(，1)的圆M与x轴及直线yx分别相切于A、B两点，另一圆N与圆M外切，且与x轴及直线yx分别相切于C、D两点(1)求圆M和圆N的方程；(2)过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得
7、的弦的长度解析(1)由于M与BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为M的半径，则M在BOA的平分线上，同理，N也在BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且OMN为BOA的平分线M的坐标为(，1)，M到x轴的距离为1，即M的半径为1，则M的方程为(x)2(y1)21，设N的半径为r，其与x轴的切点为C，连接MA、NC，由RtOAMRtOCN可知，OMONMANC，即r3，则OC3，故N的方程为(x3)2(y3)29.(2)由对称性可知，所求的弦长等于点过A的直线MN的平行线被N截得的弦长，此弦的方程是y(x)，即xy0，圆心N到该直线的距离d，则弦长为2.16.已知圆满足:截y轴所得弦长
8、为2;被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为31;圆心到直线l:x-2y=0的距离为.求该圆的方程. 解析 设圆的方程为. 令x=0,得. |得, 令y=0,得|=得. 由,得. 又因为圆心(a,b)到直线x-2y=0的距离为得即. 综上,可得 或 解得 或 于是. 所求圆的方程为或. 17如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x5上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为13，圆弧C2过点A(29,0)(1)求圆弧C2的方程；(2)曲线C上是否存在点P，满足PAPO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；(3)已知直线l：xmy140
9、与曲线C交于E、F两点，当EF33时，求坐标原点O到直线l的距离解析(1)圆弧C1所在圆的方程为x2y2169.令x5，解得M(5,12)，N(5，12)则线段AM的中垂线的方程为y62(x17)令y0，得圆弧C2所在圆的圆心为O2(14,0)，又圆弧C2所在圆的半径为r2291415，所以圆弧C2的方程为(x14)2y2225(x5)(2)假设存在这样的点P(x，y)，则由PAPO，得x2y22x290.由解得x70(舍)由解得x0(舍)综上知这样的点P不存在(3)因为EF2r2，EF2r1，所以E、F两点分别在两个圆弧上设点O到直线l的距离为d.因为直线l恒过圆弧C2所在圆的圆心(14,0
10、)，所以EF15，即18，解得d2.所以点O到直线l的距离为.18如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F1(4,0)，F2(4,0)，A(0,8)，直线yt(0t8)与线段AF1，AF2分别交于点P，Q.(1)当t3时，求以F1，F2为焦点，且过PQ中点的椭圆的标准方程；(2)过点Q作直线QRAF1交F1F2于点R，记PRF1的外接圆为圆C.求证：圆心C在定直线7x4y80上解析 (1)当t3时，PQ中点为(0,3)，所以b3，又椭圆焦点为F1(4,0)，F2(4,0)，所以c4，a2b2c225，所以椭圆的标准方程为1.(2)证明因为Q在直线AF2：1上，所以Q.由P与Q关于y轴对称，得P，又由QRAF1，得R(4t,0)设PRF1的外接圆方程为x2y2DxEyF0，则有解得所以该圆的圆心C满足748880，即圆心C在直线7x4y80上
