排列组合问题精讲精析

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1、要点点拨写出所有组合结果的步 骤：画图按一个自制顺 序，防止重复和遗漏；由 图逐个写出所有的组合.排列组合问题精讲精析1. 组合(1) 定义从n个不同的元素中取出m(mWn)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合.例如：从a、b、c三个不同的元素中取出2个元素的所有组 合共有 3 个，它们分别是 a、 b；a、 c；b、 c. 而 a、 b 与 b、 a 是相 同的组合.也就是说：如果两个组合中的元素完全相同，那么不管 它的顺序如何，都是相同的组合，当且仅当两个组合中的元素不 完全相同时，才是不同的组合，比如 a、 b 与 a、 c 才是不同的组 合.(2) 写出所有组合

2、 如何写出一个组合问题的所有组合呢？先画图，再写出所有 的组合，要注意规律性，防止重复和遗漏 .例如：写出从a、b、c、d四个元素中取出2个元素的所有组 合，其步骤： 画图，按 abfcd； 写出结果： a、 b；a、 c；a、 d；b、 c；b、 d；c、 d.要点点拨当某问题中，取出的元 素与顺序有关就属于排列问 题；取出的元素与顺序无关 就属于组合问题.(3) 区分排列与组合问题 如何区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于：当取出某m个元素后，如果改变顺序，就得到一种新的取法, 就是排列问题；如果改变顺序，所得结果还是原来的取法，这就 属于组合问题.例如：在数的运算中，加、乘运算

3、是组合问题，减、除运算 是排列问题；“寄信”是排列问题，“握手”是组合问题.(4) 组合数思维拓展组合与组合数不同：一 个组合是一种取法，而组合 数是一个数字，是所有组合 (取法)的种数.从n个不同元素中取出m(mWn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cm表示. n例如：从10个不同元素中取3个元素的组合数表示为C3，10也就是说从10个不同元素中取3个元素并成一组，共有C3种取10法；从7个不同元素中取2个元素的组合数为C2，也就是说有C277 种取法.全析提示组合数公式的推导方法 是利用分步计数原理，按先 取(组合)后排(排列)的顺序 解决的.(5)

4、 组合数公式及应用教材中推导组合数公式的思路是依据分步计数原理，从 n 个 不同元素中任取m个元素的排列数分成先求“组合数”，后求“全 排列数”，两步完成，这样就清楚地揭示出组合与排列的对应关系， 从而利用这种对应关系和已知排列数公式得到组合数公式：A m n(n 1) (n m + 1)C m =n A mm!m- n!全析提示m!(n m )!并且规定 C o 1 ，则有 C o C n 1 . nn n组合数公式的推导方法也是解有关应用题的思路.例如：有 5 名男司机，4 名女司机，现从中选派3 名男司机2 名女司机到 5 个不同的地区去，有多少种不同的分派方案？解：第一步，先组合即选出

5、5人，有C2 . C3种选法；第二步, 45选出的5人分派到5个不同的地区，有C5种去法，所以由分步计5Cm的形式的分子是n连续m个自然数的积，且最 大自然数为n.要点点拨组合数公式的推导方 法：先组合，再排列这种解 题思路在今后解决排列、组 合、混和题时常常用到.数原理得出共有C2 . C3 C5 =7200种分派方案.455例如（教材例1）：计算（1） C4 ； （2） C7710（1）解：7 x 6 x 5 x 4C4 = 35 -74!（2）解法_ 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 C7 =107!=120.解法二：107!3!=10 x 9 x 8 =120. 3

6、!例如（教材例 2）：求证：Cmnm + 1.C m + 1 .n m n证明：JCmnn!m! (n m )!m + 1m + 1n!.C m +1 .n m n n m ( m + 1)! ( n m 1)!二 m +1n(m + 1)! (n m)(n m 1)!n!思维拓展当m较大时，用阶乘形式计算Cm ；否则用连乘形式n计算Cm .n要点点拨对含有字母的组合数式 要进行变形论证时，利用组 合数公式的阶乘形式较方 便.m! (n m)!m + 1nm Cm +i n全析提示直接法（优限法）和间 接法也适用于解决组合问 题.6）简单的组合问题对具体的组合应用题，可以利用两个基本原理并结合

7、组合数 公式进行求解.例如：一个口袋内有 4 个不同的红球， 6 个不同的白球，从中 任取 4 个，使白球的个数不多于红球的个数，这样的取法共有多 少种？解法一 （直接法）由条件，红球的个数至少为2个，因此按 所取红球个数分为三类： 2个红球， 3个红球， 4个红球.每类再按 取球的先后分两步： 先取红球， 再取白球. 故共有取法个）.要点点拨解决组合应用题的常用 方法是：首先整体分类，要 注意分类时，不重复不遗漏, 用到分类计数原理；然后局 部分步，用到分步计数原理.思维拓展对于有限制条件的排列 问题，常分步进行，先组合 再排列，即先取出元素，再 安排元素，这是分步计数原 理的典型应用，也是

8、排列、 组合综合应用题常见解法.全析提示归纳、猜想、证明是我 们认识世界、发现自然规律 的重要方法在学习数列 时，对这种方法已有了解.C2C6 +C4C6 +C4 =115 （种）.解法二（间接法）从10个球中取4个球有C4种方法，其中10不含红球有C4种方法，仅含1个红球有C1C3种方法，这两种情64 6况不符合要求，故符合要求的取法有C4 - C4 - C1C3 = 115 （种）1064 6由以上例题可以看出，解决组合应用问题的总体思路是： 整体分类对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要 做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交 集等于空集，以保证分类的不重复，计算结

9、果时，运用分类计数 原理. 局部分步整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要 做到步骤连续，以保证分步时不遗漏，同时步骤要独立，以保证 分步的不重复，计算每一类的相应结果时，运用分步计数原理.（ 7）排列组合综合应用例如：从 1 到9 的九个数字中取三个偶数四个奇数，求： 能组成多少个没有重复数字的七位数？ 在中三个偶数排在一起的有几个？ 在中任意两个偶数都不相邻的有几个？解：分步完成：第一步在4个偶数中取3个，有C3种取法;4第二步在5个奇数中取4个，有C4种取法；第三步3个偶数，45个奇数排列，有A7种方法，故能组成C3 C4 A7 = 100800个七位74 *5 *7数.三个偶数排在

10、一起有C4 * C5 * A5 * A3 = 14400 任两个偶数都不相邻有c; *C5 *A4 *A5 = 28800 （个）2. 组合数的性质（1 ）性质 1 C m = C n -m nn教材推导性质1时，是从计算C；与C7入手，通过归纳得到10 10C3 = C10-3，然后猜想出性质1： Cm = cn-m,并进行了类似解释,1010nn这种解释突出了从n个元素中取m个与从这n个元素中取n-m个 的一一对应关系，这表明从计算组合数的角度看，两种取法是等 价的，因此这种解释有助于对性质 1 的理解与记忆，然后对性质1进行了证明.（2）性质 1 的应用思维拓展例如：计算 C 98 .1

11、00解：C 98- C 100 98 - C 2100 100 100100 X 99=4950 -2X1例如（教材例 3）：（1）平面内有 10个点，以其中每 2个点为 端点的线段共有多少条？（2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段 共有多少条？解 （ 1 ）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数， 就是从 10 个不同元素中取出2 个元素的组合数，即当m n时，通常不计算2C m而改为计算C n m .nnC12010 x 91X2=45 -答：以 10 个点中每2 个点为端点的线段共有 45条.（2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、一个是终点，以平

12、面内 10 个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从 10全析提示本题是一个没有限制条 件的应用题通过学习使我 们进一步认识到排列和组合 这两种问题的本质区别，能 提高分辨能力.个不同元素中取出2个元素的排列数，即A 2 = 10 X 9 = 90 .10答：以10个点中每2个点为端点的有向线段共有90条.又例如（教材例 4）：一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和1 个黑球.（1）从口袋内取出 3 个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出 3 个球，使其中含有1 个黑球，有多少种取法？（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解（1）从口袋内的8个球中取出3个球，取法种

13、数是思维拓展3 8X 7X 6计算cm时，若m 丄，n 2则用连乘形式计算.由 C 3 = C2 + C3 = 35 可877猜想 Cm = Cm 1 + Cm .n +1nnC8 二= 56 -答：从口袋内取出 3 个球，共有 56 种取法.（2）从口袋内取出 3个球中有1 个是黑球，于是还要从7个 白球中再取出 2 个，取法种数是C7 = 7X1 = 21 .7 2!答：取出含有1 个黑球的3个球，共有21种取法.（3）由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球 中取出 3个球，取法种数是7 x 6 x 53!答：取出不含黑球的3个球，共有35种取法.(3)性质 2 C m = Cm

14、 + Cm-1n +1nn思维拓展性质2中，公式的左端 下标是n+1，而右端下标是n； 两端的上标一个一样，右端 另一个比它们少1.与推导性质 1 类似，教材由例 4，通过归纳、猜想、证明得到 性质2： cm = Cm + Cm-1，其证明有两种方法：n +1nn 运用组合数公式，通过计算证明； 用组合的定义和分类计数原理推出的性质 2，也可看成证明. 这样不仅明白、易懂而且还容易记住（理解记忆）性质2，也是证 明组合恒等式和解决组合问题的重要思路.（4）性质 2 的应用思维拓展当多个上标相同的组合 数相加时，常用性质2进行 化简、计算.性质 2 的主要作用是用于有关组合数式子的化简、计算等.例如：计算 C2 + C2 + C2 + C2 + + C2 -3 4 5 6 20解:原式=（C3 + C2） + C2 + + C2 - 14 4 5 20C3+ C5+ + C2o-1321-1.C1300100 X 99 X 983 x 2 x 1=161700 -全析提示抽取产品问题是在产品 检验等实际问题中经常见到 的，属于组合问题.（5）有关“恰好”“至少”等问题的处理方法 例如（教材例