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1、极值点偏移判定定理1-2- 极值点偏移一、极值点偏移的判定定理x0a,b)(fx )?)y?f (x(xx ,，上只有一个极大（小）值点的解分别为对于可导函数，在区间，方程021ba ?x ?x ? 且，21x?x 21)xf (y ?x ?()?)?xx ?f (2f (xx ,x ()上极（小）大值，即函数，则在区间（1）若 210210点右（左）偏； 021上极（小）大值，即函数（2）2xx ?xy ?f (x )f (x)?f (?x2x (x,x )x ?)(?若在区间，则2102102x.点右（左）偏0x ),(fy?(x )ab )xf (的，（小）证明：（ 1 因为对于可导函数
2、上只有一个极大值点则函数，在区间0，且，由于，单调递减（增）区间为单调递增（减）区间),xbx (,(axx ?b ?x ?xa ?为，有x?x21xx ?xx ?x)?(?)22)f ?2xxx (x ?f (?(?)x ，即函数极 （小）大，所以，又，故2x0001212001201200右（左）偏；值点0 .（2）证明略xx ?x ?x 1221?m?m?） 左快右慢（极值点左偏）左慢右快（极值点右偏22xx ?xx ? ?m?m? 左慢右快（极值点右偏）左快右慢（极值点左偏22 二、运用判定2112定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：（ F(x)的单调性；x)xf (；（ 1）求出函
3、数 的极值点 F(x)?f (x ?x )?f (x?x)；2）构造一元差函数000（3）确定函数f (x ?x)f (x?x )x )?0F(F0 的大小关系、4）结合的符号，从而确定，判断.（ 00 口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.2、抽化模型x?x ?2xx )xf (x)f ()x )?f (f (x . 答题模板：若已知函数满足，的极值点，求证：为函数021021x)( x(x )ff；）讨论函数的单调性并求出的极值点（10(?,x)( x,?)xf (上单调递增 .上单调递减，在假设此处在 0KS5UKS5U.KS5U)x ?x ?x )?f
4、( Fx )?f (x；（ 2）构造00)?x ?f (2xfF(x )?(x ) 的形式注：此处根据题意需要还可以构造成.0KS5UKS5Uf (x?x) xF (x)F(x)( F 与在某段区间上的正负，并得出的单调性， 判断出（ 3）通过求导讨论0 f(x ?x )的大小关系； 0F(x )?F(x)?f (x )?f (x )?0)0,?(F(x) ，从而上单调递增，那么我们便可得出在假设此处000.f (x?x)?f (x ?x)x ?x得到：时， x ?x ?xf (x ?x)f (x?x)f (x )(fx(f ?x 的大小关系得出，通过的单调性， ）不妨设 （ 4，000与 0
5、210021 结论；x?x ?(x ?x )x ?f (x ?x )fxx ?)f (xf (x )? 且，时，接上述情况，由于，21000021)(2x ?x ?f x (x ?x ) ?f x ?(xx ) ?fxf(x)?f ()?xx ? 故，又因为，220020201001x?2x(?,x )?x)f (xx ?2xxx 2?x?x .得证，从而且在上单调递减，从而得到0102200012x ?xxx ?xx 122112x0f ()?的大小，得出（5）若要证明所在的单调区间，从，还需进一步讨论与0 222而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.xx ?x ?xx )?2x ,(?
6、 )(xfx ?，故此处只需继续证明：因为上单调递减，故在， 由于2x ?x )?(0f .2101200212【说明】（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；f (x ?x)xf ( 与前两问分别求的单调性、极值点，证明）（ 2 此类题目若试题难度较低，会分解为三问，0f (x ?x )f (2x ?x )x ?x ?2x )(fx 或（或与）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如0010221的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.x ?x)?(0f KS5UKS5U.KS5U2 三、对点详析，利器显锋芒?x )x ?Rxf()?x
7、e ( . 已知函数 )(xf(1)求函数的单调区间和极值；2?x )xf )xf (?xx ?(x .，且，证明：(2)若 2112211?x )(?,1f (x )2?1xx ?2?xx 2?x? ，上单调递增，. ，在2211221434)A(x,a)a(x ,B)f (x )?x?(a ?yx ?a .两点与直线函数交于、12332?xx ?.证明：212xx ?4?x ?f (x)?(x )xffx (x )?ln已知函数， 若 . ，且，证明：212112x2x 2?x)f (x ?f (x )?x )?ln?(fx，则必有，。【解析】由函数单调性可知：若x4?x ?2， 所以，
8、而21121x 4?x，则令x ?4x22?lnx ?ln( ?x (h)4?x )1111112222)x (?x (4?x)4?x?2211?2(4?x )?2x ?h (x )?2222)x )?x 4?xxx (4x(4?2)?82(x0?)?xx (4h (x )(0,2)h(x )?h (2)?0，为减函数，所以在所以函数22f (x )?f (4?x )?0f (x)?f (4?x)f (x )?f (4?x)x?x?4.，所以即所以，所以?xf2?xxxx ,1x ?ax ?2efx ?221121112x.是的两个零点，证明：有两个零点已知函数.设 2121四、招式演练a?x
9、fgx x ?x ?ge L?2.71828a ?R,e 的导函数已知函数是. ，其中为自然对数的底数，2x2?xf的极值；（）求?x ?x ?0xx ?.1a?xfxf（）若时，且，证明：当?有极小值当212121?0a?a0xxff aa ?a lnf ln?a ?详时 ,无极值 ; 【答案】 (1) 当 ;(2)时，见解析 .（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函【解析】试题分析：数的极值即可； ，求出函数的导数，根据函数的单调性证（x）（ x） =fx） f （）求出函数fx）的导数， 设函数 F 明即可试题解析： ?xxa,axgfx?ex ?exf
10、 ? ，的定义域为（） ?0a?x ?f ,?x ?0 时成立在时，当?xffx ,?.?在无极值上单调递增，x0?aa ln?e?a?f 0xx ?解得 时，当?f?,?,ln?aa ln 上单调递减，在alnx ?x ?0x?ln0?axf得；由得由xf所以在上单调递增，?xfa ?aln?a ?f lna.故有极小值?1a?1fxxe ?x?, ?fe ?（）当的定义域为，xx?1?0ffxx?x?,0?0,时， ，xx0?xxfe， 由变化时，解得 变化情况如下表：.当0?xf0+?xf 极小值 单调递增单调递减?，且 22112121xx ?ff x ?0?xx ?xx ?x ）（不妨设，则?2ax ?lnxxf ?Ra? 已知函数，其中 ?axf 有两个零点，求（ 1）若函数的取值范围；?a 4x?x ?xx ?xx ,?. ，且方程有极大值为（2）若函数，证明：的两根为，且1mfxxf21122121?0?a）见解析 . ;（ 1）（ 2【
