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1、传说中的上财33道证明题1、证明需求曲线上的点C的价格弹性等于BC：AC证明：ed=-dQ/dPP/Q=GB/CGCG/OG=GB/OG=BC/AC=OF/AF2、证明线性需求函数Q=f（p）上的任意两点的需求弹性不等3、应用数学方法证明蛛网模型的三种情况4、论证消费者均衡条件为：MU1/P1=MU2/P2证明：已知收入约束条件为：I=P1X1+P2X2构建拉氏函数：L=U(X1,X2)+(1-P1X1-P2X2)L/X1=U/X1-P1=0，即MU1/P1=L/X2=U/X2-P2=0，即MU2/P2=MU1/P1=MU2/P2=5、如果预算线给定，一条无差异曲线U（Qx，Qy）与其相切，试
2、证明切点E的坐标为最优商品组合，切点E为消费者均衡点。6、证明： MRS12=MU1/MU2证明：设效用函数：U=U(X1,X2)U=U(X1,X2)=C(常数)表示同一条无差异曲线，即代表相同的效用两边取全微分U/X1dX1+U/X2dX2=0-dX1/dX2=U/X1/U/X2=MU1/MU2，即，MRS12=MU1/MU27、证明： 无差异曲线凸向原点8、证明Q=ALaKb 。（A，a，b为参数，0a，b1）具有规模报酬的三种性质。证明：Q=ALKQ*=A(L)(K)=A+LK=+ALK=+-1ALK(1)当+1时,为规模报酬递增当+=1时,为规模报酬不变当+1时,为规模报酬递减9、证明
3、MPL与APL相交于APL的最大值点处。证明：dAPL/dL=df(l,K0)/L/dL=f (L,K0)L-f(L,K0)/L2=f (L,K0)-f(L,K0)/L/L=(MPL-APL)/LL0当MPLAPL时，APL曲线上升；当MPLAPL时，APL曲线下降；当MPL=APL时，APL取得最大值。10、证明：等产量曲线凸向原点。11、证明：ARTSLK=MPL/MPK 。证明：假设等产量曲线的生产函数为：Q=f(L,K)=Q0，即f(L,K0=Q0，两边微分得：f/LdL+f/KdK=0-dK/dL=f/L/f/K=MPL/MPK，即MRTSLK=MPL/MPK生产理论中的边际技术替代
4、率与消费者理论中的边际替代率是相似的。12、证明厂商在既定产量条件下的成本最小化的条件是：MPL/MPK=w/r证明：在Q=f(L,K)=Q0条件下，已知w，r求L，K使wL+rK有最小值？证明：Z=wL+rK-Q0-f（L，K）Z/L=w-f/L=0，Z/K=r-f/K=0f/L/w=Z/K/r=1/，即MPL/w=MPK/rf(L,K)=Q0，使Z取得max，即wL+rK取得max。13、证明AVC和MC曲线为APL和MPL的一种镜像。14、证明垄断厂商的MR曲线总是小于AR曲线，且斜率是2倍的关系，既MR曲线平分由纵轴到需求曲线d的任何水平线。证明：因为假定现行的需求函数为：P=a-bQ
5、（a，b为常数，且大于0）TR（Q）=PQ=aQ-bQ2MR（q）=dTR（Q）/dQ=a-2bQAR曲线（需求曲线）：P=a-bQdP/dQ=-bQ=（a-P）/bMR曲线：MR（Q）=a-2bQdMR（Q）/dQ=-2bQQ=（a-MR）/2b15、证明边际收益与需求价格弹性的关系为： MR=P（1-1/ed） （ ed 弹性）证明：P=P（Q），TR（Q）=PQ=P（Q）QMR（Q）=dTR（Q）/dQ=dPQ/dQQ+P（Q）=dP/dQQ+P=P（1+dP/dQQ/P）=P1-1/（-dQ/dPP/Q）而ed=-dQ/dPP/Q（为正值），所以MR=P1-1/ed16、证明收益，价格
6、与需求价格弹性的关系为： dR/dP=Q（1-ed）证明：R=PQ，dR/dP=Q+dQ/dPP=Q（1+dQ/dPP/Q）=Q（1-ed）。其中ed=-dQ/dPP/Q（为正值）。17、三级价格歧视要求在需求的价格弹性大的市场降低价格以使厂商获得最大的利润。MR=dTR/dQ=d（PQ）/dQ=P+QdP/dQ=P（1-1/ed），ed=dQ/dPP/Q这样对于市场1：MR1=P1（1-1/ed1）；对于市场2：MR2=P2（1-1/ed2）由MR1=MR2，得：P1（1-1/ed1）=P2（1-1/ed2）P1/P2=（1-1/ed2）/（1-1/ed1），若ed1ed2，则P1P2，弹性
7、较大的市场取较小的价格。18、垄断竞争厂商长期均衡时，LAC必定与d曲线相切的切点：同时也与MR与LMC的交点处在同一条垂线上，即Q相同。第一步：LAC与d相切于一点，即在此点时两曲线的切线的斜率相同。所以，d曲线的斜率dP/dQ=d（LAC）/dQ而LAC（切线）的斜率为：D（LAC）/dQ=d（LTC/Q）/dQ=d（LTC）/dQQ-LTC/Q2=LMC-LAC/Q在切点H处，均衡价格等于LAC（因为长期利率为0），所以有LAC=P，代入上式得到：所以dP/dQ=（LMC-P）/Q，则LMC=dP/dQQ+P又TR=TQ，MR=dTR/dQ=P+dP/dQQ所以此时，LMC=MR换句话说
8、：LMC=MR时的产量就是H点处的产量。19、证明在生产技术相同的n寡头垄断企业组成的古诺模型中，行业供给量等于市场容量的n/（n+1）假设厂商的成本为0，行业的需求函数为：P=a-b（Q1+Q2+.+Qn）1=PQ1=aQ1-bQ1(Q1+Q2+Qn)，d1/dQ1=a-2bQ1-bQ2-bQn)=02=PQ2=aQ2-bQ2(Q1+Q2+Qn)，d2/dQ2=a-2bQ2-bQ1-bQn)=0n=PQn=aQn-bQn(Q1+Q2+Qn)，dn/dQn=a-2bQn-bQ1-bQn)=0a/b=2Q1+Q2+Qn，a/b=Q1+2Q2+.Qn，.a/b=Q1+q2+.2Qn所以Q1=Q2=
9、Qn=1/(n+1)a/b由需求方程P=a-bQ，当P=0时，则市场容量Q0=a/b所以n家寡头的行业供给量为n/（n+1）a/b，即市场容量为n/（n+1）20、证明完全竞争厂商使用要素的原则是：VMP=w证明：（L）=PQ（L）-wL-FC（固定成本）要达到max，则求导使之为0d（L）/dL=PdQ/dL-w=0，即PdQ/dL-w=0PMP-w=0，即VMP-w=0所以VMP=w时，取得max21、如果生产函数Q=Q（L，K）为一次齐次函数，则Q=L*Q/L+K*Q/K 注：*为乘号， ，为微分符号。22、证明交换的一般均衡条件： MRSAxy=MRSBxy23、证明三部门经济中转移支
10、付乘数为：/（1）证明：因为Y=C+I+G=a+（Y-T+TR）+I0+G0所以Y=（a-T+TR+I0+G0）/（1-）所以KTR=Y/TR=/（1-）24、证明，固定税制条件下平衡预算乘数为1证明：方法一：Y=KGG+KTT=G/（1-b）+-bT/（1-b）=（1-b）/（1-b）TT=G，Y/G=Y/T=1方法二：Y=C+I+GY=C+I+G因为C=a+bY=a+b（Y-T+TR）所以C=b（Y-T）所以Y=b（Y-T）+I+G=b（Y-T）+G因为I=0，所以Y/G=（1-b）/（1-b）=1，（因为G=T）25、证明与三部门经济相比，四部门经济相应的乘数更小。证明：Y=C+I+G+
11、NX=a+bY+I+G+NX=a+b（Y-T0-tY+TR）+I0+G0+x0-M0-Y所以Y=（a+I0+G0-bT0+bTR+X0-M0）/1-b（1-t）+四部门经济中的乘数：1、 KX=dY/dX=1/1-b（1-t）+称为对外贸易乘数。2、其他乘数：KI、KG=1/1-b（1-t）+、KTR=b/1-b（1-t）+、KT=-b/1-b（1-t）+等等 特点也是四个部门的乘数变小，因为各个乘数分母为1-b（1-t）+26、证明财政政策乘数 dy/dg=1/1-（1-t）+dk/h证明：在产品市场上，Y=C+I+G（以上三部门经济为例）C=+yd=+（Y-T0-ty）I=e=dr所以r=
12、+e+g-T0/d-1-（1-t）y/d在货币市场上，m=L1（y）+L2（r）=ky-hr所以r=yk/h-m/h所以+e+g-T0/d-1-（1-t）y/d=yk/h-m/hy=+e+g-T0/d+m/h/1-（1-t）/d+k/hdy/dg=1/1-（1-t）+dk/h注意：一般dy/dg1/1-（1-t）政府购买支出乘数，但h，即LM曲线是水平状时，政府购买乘数=政府支出乘数27、证明货币政策乘数dy/dm=1/1-（1-t）*（h/d）+k证明：由前面已经得到产品市场、货币市场都均衡时，y=+e+g-T0/d+m/h/1-（1-t）/d+k/h所以dy/dm=1/1-（1-t）/d+
13、k几点结论：其他参数既定时，h（货币需求对利率越敏感，LM曲线越平缓，货币政策的效果越小）其他参数既定时，d（投资需求对利率越敏感，IS曲线越平缓，货币政策的效果越大）28、证明宏观经济学中的总需求函数Y=f（P） （Y：总需求，P：价格水平）的斜率为负数。证明：在IS-LM模型中考虑水平变化的情况下，建立Y*与P的关系IS：Y=C+I+GR=a+b（TR-T0）+e+G0/d-1-b（1-t）y/d不妨令R=-YLM:M/P=L1(Y)+L2(R)=kY-hR由代入得：M/P=kY-h（-Y）所以Y=M/P+h/k+h，所以dy/dP0结论：总需求曲线是向右下方倾斜的，即表示社会的需求总量与
14、价格水平呈反比。29、证明哈罗德模型的基本方程 ：Y/Y=s/v证明：因为经济均衡时S=I所以I/Y=s/Y，所以Y/YI/Y=S/YGk=S，G=S/k，k称为加速系数K=K/Y=I/Y，称为资本产量比（或资本产出比率），=K/Y因为模型假定资本产出比率是固定不变的，所以k2-k1=（Y2-Y1），即：K/Y=所以k=，所以G=S/30、证明新古典增长模型的基本方程为：k=sy-（n+）k证明：I=S，I为总投资资本存量的变化等于净投资（It=Kt-Kt-1）所以K=I-折旧=I-K，（假定折旧是资本存量K的一个比例）由I=S=sY，得：K=sY-KN为劳动数量K/N=sY/N-Y/N=sy-k.又因为k=K/N，k=K-N两边微分：dk/k=dK/K-dN/N，即：k/k=K/K-N/
