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1、层次分析法案例层次分析法实例案例分析：众所周知，重庆作为著名的“四大火炉”之一，夏天 酷暑难耐，无疑空调成为人们必不可少的“降温神器”，重庆的夏天 不能没有空调。然而，空调的品牌越来越多，功能也各不相同，人们 不禁会遇到一个难题一如何选择一款合适的空调？当然，空调的选择要考虑各方面的因素，比如说空调的价格、性 能、品牌等。下面就用层次分析法(AHP)对我国的三大空调品牌的 选择进行分析为消费者提供一种购买决策。选购的准则有空调的品牌 信誉，产品技术，性能指标，空调的经销商和价格。三大空调品牌为 格力，海尔，美的。(1) 建立层次结构模型目标层A准则层B方案层C（2）构造成对比较矩阵并赋值根据递
2、阶层次结构构造判断矩阵。构造判断矩阵的方法是：每一个具有向下隶属关系的元素（被称作准 则）作为判断矩阵的第一个元素（位于左上角），隶属于它的各个元 素依次排列在其后的第一行和第一列。填写判断矩阵的方法：大多采取的方法是：向填写人（专家）反复询问，针对判断矩阵的准 则，其中两个元素两两比较哪个重要，重要多少，对重要性程度按 1-9赋值（重要性标度值见下表）。标度含义1表示两个因素相比，具有相冋重要性3表示两个因素相比，前者比后者稍重要5表示两个因素相比，前者比后者明显重要7表示两个因素相比，前者比后者强烈重要9表示两个因素相比，前者比后者极端重要2, 4, 6, 8表示上述相邻判断的中间值倒数若
3、因素i与因素j的重要性之比为a，那么因素j与ij因素i重要性之比为a =丄。ji a（/设填写后的判断矩阵为a二（a ），则判断矩阵满足如下性质:j n x n（1）a 0，（2） a = （ i, j = 1,2, ,n）（3） a.=1ijji aj根据上面的性质，判断矩阵具有对称性，因此在填写时，通常先填写a广1的部分，然后再仅需判断及填写上三角形或下三角形的 n(n-l)/2个元素就可以了。在特殊情况下，判断矩阵具有传递性，则满足等式：a a aij jk ik当上式对判断矩阵所有元素都成立时，贝y称该判断矩阵为一致性矩 阵。构造判断矩阵并赋值，填写后的判断矩阵如下：目标层A的判断矩阵
4、如下：AB1B2B3B4B5B111/31/553B2311/233B352175B41/51/31/711B511/31/31/511准则层B的各类准则判断矩阵如下:B1C1C2C3B2C1C2C3C1131C1121C21/311/5C21/211/3C3151C3131B3C1C2C3B4C1C2C3C1143C1133C21/412C21/311C31/31/21C31/311B5C1C2C3C1152C21/511/3C31/231层次单排序（计算权向量）与检验3、对于赋值后的判断矩阵，利用一定数学方法进行层次排序。层次单排序是指每一个判断矩阵各因素针对其准则的相对权重，所以本质上是
5、计算权向量。用求和法计算权向量对于一致性判断矩阵，每一列归一化后就是相应的权重。对于非一致性判断矩阵，每一列归化后近似其相应的权重在对这n个列向量求取算术平均值作为最后的权重。将矩阵各列归一化：b =丄j 工a（/矩阵A第一列的和为9. 533，第二列的和为4,第三列的和为2. 043,第四列的和为17,第五列的和为13。则得到如下矩阵ABiB2B3B4B5Bi0. 1050.0830.0980.2940.231B20. 3150. 2500. 2440.1760.231B30.5240.5000.4900. 4120.384B40.0210.0830.0700.0590.077B50.035
6、0. 0840.0980.0590.077(2)将矩阵各行求和v =2 b，得到如下结果(即矩阵V)： iijjB10.811B21.216B32.310B40.310B50. 353(3) 再进行归一化：v =2b (上述矩阵V列的和为5)iijjB10. 162B20.243B30.462B40.062B50.071即得到准则层权重，即为矩阵W。一致性检验在特殊情况下，判断矩阵可以具有传递性和一致性。一般情况下，并 不要求判断矩阵严格满足这一性质但从人类认识规律看一个正确的判 断矩阵重要性排序是有一定逻辑规律的，例如若fcB重要，B 又比C重 要 则从逻辑上讲,A应该比C明显重要，若两两比
7、较时出现A比C重要的 结果，则该判断矩阵违反了一致性准则，在逻辑上是不合理的。因此 在实际中要求判断矩阵满足大体上的一致性，需进行一致性检验。只 有通过检验，才能说明判断矩阵在逻辑上是合理的才能继续对结果进行 分析。所以为了判断矩阵的一致性，就可以利用最大特征根九与矩max阵a的阶N的差检验一致性。一致性指标：ci =九 一 Nmax -N 一 1_ 11/31/553 -0.162-X1_311/2330.243X 2521750.462X 31/51/31/7110.062X 41/31/31/5110.071-X5 _丿本例中：AW=则 X1 = 0.8584 X2 = 1.359 x3
8、 = 2.547 x4 = 0.3124 x5 = 0.3604X = Xmax nIX =max1 (510.162 0.243 0.462 0.062 0.071J +亠+亠+亠+亠、 丿=5.30再计算一致性指标 CI : CI = Xmax N = 5.30 一 5 =0075N 一 15 一 1然后查找查表确定相应的平均随机一致性指标I,据判断矩阵不同阶数 查下表，得到平均随机一致性指标I。例如对于5阶的判断矩阵，查表得到 R.I.=1.12n123456789RI000.520.891.121.261.361.411.46然后再计算一致性比例CRcr = CL = 0.075 =0
9、.06 RI 1.12由于CR 0.10，所以认为判断矩阵的一致性是可以接受的。同理可得准则层B的各类准则(B1 b2 b3 b4 B5 )经归一化求权重后和一致性检验后的一致性比例的结果如下：B1单排序权值C10.405C20. 115C30.480CR0. 014B2单排序权值C10.387C20.170C30.443CR0.008B4单排序权值C10. 600C20.200B5单排序权值Cl0.580C20.110C30.310CR0.003B3单排序权值Cl0.620C20.220C30.160CR0.053C30.200CR0.000根据以上结果可以看出CR的值均小于0.10,所以认
10、为各准则层的判 断矩阵的一致性是可以接受的。4、层次总排序与检验方案层单排序权值分别与对应准则层权值相乘后再相加即可得到总 排序权值。层次总排序入下表所示:准则品牌信誉产品技术性能指标经销商价格准则层权值0.1620.2430.4620.0620. 071方案层单排格力0.4050.3870.6200. 6000.580序权值海尔0. 1150. 1700.2200.2000. 110美的0.4800.4430. 1600.2000.310总排序权0.5240.1820.294然后对层次总排序进行一致性检验，检验公式为区CI (甲CR = 41， (j = 1,m)ZRI (j )ajj=1经计算结果得CR = 0.03可以看出，总排序的cr 01,认为判断矩阵的整体一致性是可以接 受的。5、分析结果 通过对以上层次单排序和总排序的分析，从方案层总排序的结果来 看，人们购买格力空调的比重大于购买海尔和美的空调的比重，人们 倾向于购买格力空调。
