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1、“线束原理”在几何证 明中的应用-CAL-FENGHAI.Network Information Technology Company.2020YEAR线束原理”在几何证明中的应用刚上初中三年级的同学现在开始学平行线分线段成比例”和“相似三角形，这两部 分有相互交叉的内容，例如在“A字型相似模型和“X型相似模型中，平行线分线段成 比例中也有这两种模型（详见 比例与相似高级教程（十）：线束原理 ），它们的共 同点是有两条或两条以上的线段经过同一点，那么用“相似的原理或“平行线分线段成比例的原理都可以得到应有的结论。但是，当线段较多让人眼花缭乱时，我们仅用相 似的原理来求解就显得过程臃肿，较为繁杂
2、，反而用平行线分线段成比例”的原理来求解则显得简洁明了。当经过同一点的线段超过两条（至少三条）时，可用其推论“线束 原理”（详见比例与相似高级教程（十）：线束原理 ）来解决。A【例1】如图1，M、N为AABC边BC上两点，且满足 BM=MN=NC，条平行于AC的直线分别交AB、AM和 AN延长线于点D、E和F。求证：EF=3DE。【提示】有三条线段经过点A，且BM=MN=NC，所以构造“线束模型”来解决。A如图1-1，过点D作DGBC，分别交 AM、AN、AC 于点R、S、G，则根据“线束原理”，DR : RS : SG=BM : MN: NC=1 : 1 : 1，.DE : AG=DR :
3、RG=1 : 2；DF : AG=DS : SG=2 : 1。【例2】如图2，设E、F分别为 ABC的边AC、AB的中点，D 为 BC 边上一点，P 在 BF 上, DPCF，Q 在 CE 上, DQ BE，PQ 交 BE 于点R，交CF于点S，求证：PR=RS=SQ。【提示】点G ABC的重心（或中心），故:FG : FC=EG : EB=1 : 3；根据线束原理:PR : PQ=PK : PD, QS : PQ=QH : QD ；根据“线束原理”，PK : PD= FG : FC=1 : 3； QH : QD= EG : EB=1 : 3,.PR : PQ= QS : PQ= 1 : 3。
4、【注】此题图形线段较多，要充分利用已知条件识别比例关系。QN : KN=NS : MN=CO : CA=DC : （DC +AB）； 故 KP=QN【注】求出KP和QN与KN的比例关系是解开此题的关键思想。【例 4】如图 4, AB=AC，BD AC，AB CE，过 A 点的直线分别交 BD、CE于点D、E，求证：（1） AM=NC ；（2） MNDE。【提示】（1）利用平型关系构造“线束模型”，如图4-1。延长DB交EC延长线于点F,则四边形ABFC为菱形。根据线束原理：AM : AB=EC : EF ； 又 NC : BF=EC : EF, .AM : AB=NC : BF=NC : AB
5、 ； AM=NC。（2）用以前学的角度关系来证明 MNDE不太容易， 此题考虑用“平行线分线段成比例”的逆定理（详见比例与 相似高级教程（二）：成比例线段判断平行关系）来证明。BM : MA=CF : CE=AB : CE=BN : NE, MN DE。【注】通过此题，我们证明两直线平行的方法又多了一种，就是“平行线分线段成比例”的逆定理。【例5】如图5, ABC为等腰直角三角形，点 P为AB上任意一点，PF丄BC , PE 丄 AC , AF 交 PE 于点 N, BE 交 PF 于点 M。求证：(1 ) PM=PN ；( 2)MN AB。【提示】(1 )根据线束原理: EN : NP=CF
6、 : BF=CF : FP ； PM : MF=AE : CE=CF : FP ； .EN:NP=PM:MF=CF : FP ； 设 CF=a,FP=b，则:.PN=PM。(2)ZPNM=45 , ZAPE=45, MN AB.ENcB图6CE与DF交于点N, AF交DE于点(2) MNAC。【练习题】如图6,正方形BFDE内接于 ABC,M, CE 与 AF 交于点 P。求证：(1) EM=DN (MD=FN )；【提示】此题与【例5】十分类似,阳詡期翁淳商蛋(1) EA : EB=EA : DF=EM : MD ； 根据线束原理:DN : NF=EA : EB,.EM : MD=DN : NF；(2) AM : AF=EM : BF=DN : DF。
