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1、第三章、经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型例1.某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教育的一个回归方程为edu = 10.36 一 0.094sibs + 0.131medu + 0.210 feduR2=0.214式中，edu为劳动力受教育年数，sibs为该劳动力家庭中兄弟姐妹的个数，medu与fedu分 别为母亲与父亲受到教育的年数。问(1) sibs是否具有预期的影响？为什么？若medu与fedu保持不变，为了使预测的受教 育水平减少一年，需要sibs增加多少？(2) 请对medu的系数给予适当的解释。(3) 如果两个劳动力都没有兄弟姐妹，但其中一个的父母受教育的
2、年数为12年，另一 个的父母受教育的年数为16年，则两人受教育的年数预期相差多少？解答：(1)预期sibs对劳动者受教育的年数有影响。因此在收入及支出预算约束一定的条 件下，子女越多的家庭，每个孩子接受教育的时间会越短。根据多元回归模型偏回归系数的含义，sibs前的参数估计值-0.094表明，在其他条件不 变的情况下，每增加1个兄弟姐妹，受教育年数会减少0.094年，因此，要减少1年受教育 的时间，兄弟姐妹需增加1/0.094=10.6个。(2) medu的系数表示当兄弟姐妹数与父亲受教育的年数保持不变时，母亲每增加1 年受教育的机会，其子女作为劳动者就会预期增加0.131年的教育机会。(3)
3、 首先计算两人受教育的年数分别为10.36+0.131x12+0.210x12=14.45210.36+0.131x16+0.210x16=15.816因此，两人的受教育年限的差别为15.816-14.452=1.364例2.以企业研发支出(R&D)占销售额的比重为被解释变量(Y)，以企业销售额(X1) 与利润占销售额的比重(X2)为解释变量，一个有32容量的样本企业的估计结果如下：Y = 0.472 + 0.32log(X ) + 0.05X(1.37)(0.22)(0.046)R 2 = 0.099其中括号中为系数估计值的标准差。(1) 解释log(X1)的系数。如果X1增加10%，估计Y
4、会变化多少个百分点？这在经济 上是一个很大的影响吗？(2) 针对R&D强度随销售额的增加而提高这一备择假设，检验它不虽X1而变化的假 设。分别在5%和10%的显著性水平上进行这个检验。(3) 利润占销售额的比重X2对R&D强度Y是否在统计上有显著的影响？解答：(1) log(x1)的系数表明在其他条件不变时，log(x1)变化1个单位，Y变化的单位数， 即Y=0.32Alog(X1R0.32(AX1/X1)=0.32x100%，换言之，当企业销售 X1 增长 100%时，企 业研发支出占销售额的比重Y会增加0.32个百分点。由此，如果X1增加10%，Y会增加 0.032个百分点。这在经济上不是
5、一个较大的影响。(2) 针对备择假设H1： P1 0，检验原假设H0：昨=0。易知计算的t统计量的值 为t=0.32/0.22=1.468。在5%的显著性水平下，自由度为32-3=29的t分布的临界值为1.699 (单侧)，计算的t值小于该临界值，所以不拒绝原假设。意味着R&D强度不随销售额的增 加而变化。在10%的显著性水平下，t分布的临界值为1.311，计算的t值小于该值，拒绝 原假设，意味着R&D强度随销售额的增加而增加。(3)对X2,参数估计值的t统计值为0.05/0.46=1.087，它比在10%的显著性水平下的 临界值还小，因此可以认为它对Y在统计上没有显著的影响。例3.下表为有关
6、经批准的私人住房单位及其决定因素的4个模型的估计量和相关统计值(括 号内为p-值)(如果某项为空，则意味着模型中没有此变量)。数据为美国40个城市的数据。 模型如下：hou sin g = p + p density + p value + p income + p popchang01234+ p unemp + p localtax + p statetax + 旦567式中housing实际颁发的建筑许可证数量，density每平方英里的人口密度，value一自由房屋的均值(单位：百美元)，income平均家庭的收入(单位：千美元)，popchang19801992年的人口增长百分比，u
7、nemp失业率，localtax人均交纳的地方税， statetax人均缴纳的州税(1) 检验模型A中的每一个回归系数在10%水平下是否为零(括号中的值为双边备择p- 值)。根据检验结果，你认为应该把变量保留在模型中还是去掉？(2) 在模型A中，在10%水平下检验联合假设H0： pi =0(i=1,5,6,7)。说明被择假设，计 算检验统计值，说明其在零假设条件下的分布，拒绝或接受零假设的标准。说明你的 结论。(3) 哪个模型是“最优的”？解释你的选择标准。(4) 说明最优模型中有哪些系数的符号是“错误的”。说明你的预期符号并解释原因。确认 其是否为正确符号。解答：(1)直接给出了？-值，所以
8、没有必要计算t-统计值以及查t分布表。根据题意，如 果p-值0，事实上其 估计值确是大于零的。同样地，随着人口的增加，住房需求也会随之增加，所以我们预期p 40，事实其估计值也是如此。随着房屋价格的上升，我们预期对住房的需求人数减少，即 我们预期P 3估计值的符号为负，回归结果与直觉相符。出乎预料的是，地方税与州税为不 显著的。由于税收的增加将使可支配收入降低，所以我们预期住房的需求将下降。虽然模型 A是这种情况，但它们的影响却非常微弱。4、在经典线性模型基本假定下，对含有三个自变量的多元回归模型:Y = p +p X +p X +p X +旦0112233你想检验的虚拟假设是H0： P1 -
9、 2 p 2 = 1。(1)用P , P的方差及其协方差求出席,(p - 2p )。1212(2) 写出检验H0： P1 - 2P2 = 1的t统计量。(3) 如果定义P1 -2p2 =0，写出一个涉及p0、。、p2和p3的回归方程，以便能直接得A到0估计值0及其标准误。解答：(1)由数理统计学知识易知Var(p -2 ) = Var(p ) - 4Cov(pP , pP ) + 4Var(pP )121122(2) 由数理统计学知识易知B 2|3 1t = 12 ，其中，如-2(3 )为(p - 2p )的标准差。se(p - 2p )121212(3) 由p -2p =0知p =0+ 2p
10、，代入原模型得1212Y = p + (0 + 2p )X +p X +p X +旦0212233=p +0X +p (2X + X ) + p X +旦0121233 . 这就是所需的模型，其中0估计值0及其标准误都能通过对该模型进行估计得到。3-2 .观察下列方程并判断其变量是否呈线性？系数是否呈线性？或都是？或都不是?1) Y = p 0 + B X3 +.2) Y =p +p logX +01.3) logY = p + p logX +.01.4) Y =p +p (p X ) + 012 i .5) Y =- + i p X. i6) Y = 1 +p 0(1 - X.p1) +
11、7) Y =p +p X +p X 10 + 01 1i 2 2广i3-3.多元线性回归模型与一元线性回归模型有哪些区别？3-4.为什么说最小二乘估计量是最优的线性无偏估计量？多元线性回归最小二乘估计的正 规方程组，能解出唯一的参数估计的条件是什么？3-5.多元线性回归模型的基本假设是什么？试说明在证明最小二乘估计量的无偏性和有效 性的过程中，哪些基本假设起了作用？3-6 .请说明区间估计的含义。3-7.什么是正规方程组？分别用非矩阵形式和矩阵形式写出模型：J =8 + P x + p x + P x + u , i = 1,2,n的正规方程组，及其推导过程。i 01 1i 2 2ik ki
12、i3-16 .考虑下列两个模型：I、y = P+ P x + P x + ui 12 2i 3 3i i、(y x ) = a +a x +a x + ui 2i 12 2i3 3ii要求：(1)证明：气=P2 1 , a.P , oc3 = P3(2) 证明：残差的最小二乘估计量相同，即：u = U；(3) 在何种情况下，模型II的拟合优度R2会小于模型I拟合优度R2。3-17.假设要求你建立一个计量经济模型来说明在学校跑道上慢跑一英里或一英里以上的人 数，以便决定是否修建第二条跑道以满足所有的锻炼者。你通过整个学年收集数据，得到两 个可能的解释性方程：一一一 一一一一一一一方程 a：Y =
13、125.0 15.0X1.0X2+1.5X3R 2= 0.75人 一 _方程B：Y =123.0 14.0X1+ 5.5X2 3.7X4R2= 0.73其中：Y 某天慢跑者的人数X1 该天降雨的英寸数X 2 该天日照的小时数X 3 该天的最高温度(按华氏温度)X 4 第二天需交学期论文的班级数请回答下列问题：(1)这两个方程你认为哪个更合理些，为什么？(2)为什么用相同的数据去估计相同变量的系数得到不同的符号？3-18.对下列模型：yi = o + pxi + 2气+气(1)y. = a + |3x 8z. + u(2)求出0的最小二乘估计值；并将结果与下面的三变量回归方程的最小二乘估计值作比较：(3) y. =a + 8x *.+ u ，你认为哪一个估计值更好？3-19 .假定以校园内食堂每天卖出的盒饭数量作为
