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1、sff塩沖那塢那蘇mnc出一DIP狒一加载册狒ml目录1 引言 12 行列式性质23 行列式计算方法63.1 定义法63.2 递推法93.3 化三角法93.4 拆元法113 .4加边法123.6 数学归结法133.7 降价法153.8 利用普拉斯定理163.9利用范德蒙行列式参考文献错误!未定义书签。8行列式的概念及应用摘要：本文先列举行列式计算相关性质，然后归纳总结出行列式的方法，包括：定义法，化三角法，递 推法，拆元法，加边法，数学归结法，降价法，利用拉普拉斯定理，利用范德蒙行列式。关键词： 行列式；线性方程组；范德蒙行列式The concept and application of de
2、terminantSummary:This article lists calculated properties of determinants, and then sum up the determinant method, including: Definition, triangulation, recursive method, remove method, bordered by, mathematical resolution method, cut method, using Laplace theorem, using the vandermonde determinant.
3、: determinant;Linear equations;Vandermonde determinant1 引言行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最 初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德莱布尼茨各自独立得出，时间大致相 同。日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部名为解伏题之法的著作，意思是“解行 列式问题的方法”，书中对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列 式概念的是德国数学家，微积分学奠基人之一莱布尼茨。十八世纪开始，行列式开始作为独立的 数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和
4、完善。矩阵概念的引入使得更多 有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自 同态和向量组的行列式的定义。1 行列式的性质1.1 性质 1 把行列式各行变为相应的列，所得行列式与原行列式相等。aa aaa aa11a12a1na11a21 an1即:.2122.2 n-=.1222n2aa aaa an1n2nn1n2nnn其实，元素a在G）的右端位于第j行第i列，即此时i是列指标，j为行指标。 ijG)在行列式中，行与列的地位是对称的，所以有关行的性质，对列也成立。1.2 性质 2 如果行列式中一行为零，那么行列式为零。k (ai1aa a.1112 1n
5、kaka ka := ka Af ka A+ -.i1i2.ini1i1i2i 2aa an1n2nnaa a.11121nA + aA +f a AL kaa ai12i 2in in.i1i2inaa an1n2nn因为即当 k =0 时，就有行列式为零。+ka A 二in in1.3性质3如果行列式的某一行(或一列)的元都是二项式，那么这个行列式等于把 这些二项式各取一项作成相应行*或列)而其余行&列)不变的两个行列式的和。a a a11 121nb + c b + c b + c1 1 2 2 n na a an1n 2 nn(b + c )A +(b + c )A + + + c )
6、A= 1 1i 12 2 i 2 n n in=b A + b A + +b A )+(c A + c A + +c A 丿1i12i 2nin1i 12i 2aa aaa a11121n.1112 1nbbb+ cc c12 n.12 naa aaa an1n1nnn1n2nnn in1.4 性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零，所谓两行相同就是说两行 的对应元素都相等。证明： 设行列式1n in knQ : Q : Q : Q 2221 i kQ : Q : Q : Q 11 1i 1kQ : Q : Q : Q1n. a.a,.ij kjika .njn(2)中第i行与第k行相
7、同，即a = a , j = 1,2,n.ij kj为了证明(2)为零，只须证明(2)的右端所出现的项全能两两相消就行了 事实上，与项=1丿ja .a.a a .1 k n 1jijkjnj1ikn同时出现的还有jjj a a.a a1 1 k n 1jij kj nj1kin比较这两项，由G）有a.= a,a.二a.ij kj ij kjiikk也就是说，这两项有相同的数值。但是排列 JJJJ与JJJJ1i kn 1ki n相差一个对换，因而有相反的奇偶性，所以这两项的符号相反。易知，全部1级排列可以按上述 形式两两配对。因之，在6）的右端，对于每一项都有一数值相同但符号相反的项与之成对出现
8、, 从而行列式为零。1.5 性质 5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。证明aa aaa a.1112.1n.1112.1naa aaa a.i1i2.in.i1i2.in=k=0.kakakaaa a.i1i2.in.i1i2.inaa aaa an1n2nnn1n2nn这里第一步根据性质2，第二步根据性质 4.1.6 性质 6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变。a11a12a + ca a + cai1k1i2 k 2ak1an1ak2an2aa1112ca cak1k 2ak1ak2aan1n2aaa a In.11121ncaaa a.kn.i1i2inaaa a.kn.k1k
9、2knaaa annn1n2nn这里，第一步根据性质3，第二步根据性质5.根据性质6即得1.7 性质 7 对换行列式中两行的位置，行列式反号证明aa aaaa1112 1n11121naa aa + aa + aa+ ai1i2.in=i1k1i2k2in.knaa aaaak1k2.knk1k2.knaa aaaan1n2nnn1n2nnaaaaaa.11121n.11121na +aa + aa+ aaaai1 .k1i2k2inkn.k1k2kn-a-a-aaaa:i1i2in.i1i2inaaaaaan1n2nnn1n2nna11a12 a1nak1ak2aknai1ai2 ainan
10、1an2ann这里，第一步是把第k行加到第i行，第二步是把第i行的C倍加到第k行，第三步是把第k 行加到第i行，最后再把第k行的公因子C1)提出。2.行列式的计算方法2.1 定义法在引进行列式的定义之前,为了更加容易的理解行列式的定义,首先介绍排列和逆序的 概念.(1) n级排列：由l,2.3n组成的一个有序数组称为一个n级排列.(2) 在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即:前面的数大于后面的数, 那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数.(3) 逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列.aaa a12131naaa a2122232n定义:n阶行列式aaa a.3132333naaa an1n2n3nn在做好这些工作之后,来引入行列式的定义：等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积.a j a j a j a j1 1 2 2 3 3 n n的代数和，这里jj为1,2,3,，n的一个排列,每一项II1 2 3 n都按下列规则带有符号，当j ,j，j，j是偶排列时，11带有正号，当1 2 3 nj , j , j，,j是奇排列时,II带有负号.1 2 3 naaaaa1112131415aaaaa
