福建师范大学21秋《复变函数》综合测试题库答案参考94

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1、福建师范大学21秋复变函数综合测试题库答案参考1. 试求y=x的经过点M(0,1)且在此点与直线相切的积分曲线试求y=x的经过点M(0,1)且在此点与直线相切的积分曲线方程的初始条件为y(0)=1, 代 代入y(0)=l,得C2=1,所求积分曲线为 2. 设0P(A)1,0P(B)1,则下列选项成立的是( ) A事件A和B互不相容 B事件A和B互相对立 C事件A和B互不设0P(A)1,0P(B)1,则下列选项成立的是()A事件A和B互不相容B事件A和B互相对立C事件A和B互不独立D事件A和B相互独立D3. 求下列函数的边际函数与弹性函数: (3) xae-b(x+c)求下列函数的边际函数与弹性

2、函数:(3) xae-b(x+c)(3)y=xae-b(x+c),y=(axa-1-bxa)e-b(x+c) 4. 设F(x)f(-x),且f(x)有n阶导数,求F(n)(x); (2)设f(x)xe-x,求f(n)(x)设F(x)f(-x),且f(x)有n阶导数,求F(n)(x); (2)设f(x)xe-x,求f(n)(x)正确答案:解 (1)F(x)-f(-x) F(x)(1)2f(-x)F(k)(x)(-1)k fk(-x)rn F(k1)(x)(F(k)(x)(-1)kf(k)(-x)(-1)k+1fk+1(-x)rn由数学归纳法证明成立即F(n)(x)(-1)nfn(-x)rn(2)

3、f(x)e-x+e-x(-1)x(1x)e-x-(x1)e-xrn f(x)-e-xxe-xe-x(-1)2(x2)e-xrn f(x)(-1)3(x3)e-xrn f(k)(x)(-1)k(xk)e-xrn f(k1)(x)(-1)k(xk)e-x)(-1)ke-x+(xk)(-e-x)rn (-1)k+1(x(k+1)e-xrn由数学归纳法知f(n)(x)(-1)n(xn)e-x解(1)F(x)-f(-x)F(x)(1)2f(-x),F(k)(x)(-1)kfk(-x)F(k1)(x)(F(k)(x)(-1)kf(k)(-x)(-1)k+1fk+1(-x)由数学归纳法证明成立,即F(n)(

4、x)(-1)nfn(-x)(2)f(x)e-x+e-x(-1)x(1x)e-x-(x1)e-xf(x)-e-xxe-xe-x(-1)2(x2)e-xf(x)(-1)3(x3)e-xf(k)(x)(-1)k(xk)e-xf(k1)(x)(-1)k(xk)e-x)(-1)ke-x+(xk)(-e-x)(-1)k+1(x(k+1)e-x由数学归纳法知f(n)(x)(-1)n(xn)e-x5. 设某养老金计划参加者具体的存款方式为:在2529岁时,每月存款200元;在3039岁时,每月存款300元;在4049岁时设某养老金计划参加者具体的存款方式为:在2529岁时,每月存款200元;在3039岁时,每

5、月存款300元;在4049岁时,每月存款500元;在5059岁时,每月存款1000元在年利率i=10%下,分别对不同年龄的计划参加者计算月退休金年利率i=10%,因此有,=271.0244, (1)恰好在25岁开始加入养老金计划,则60岁以后的月退休金为 即每月领取约10580元的退休金,直至80岁 (2)从30岁开始加入养老金计划,则60岁以后的月退休金为 即每月领取约8078元的退休金,直至80岁 (3)从40岁开始加入养老金计划,则60岁以后的月退休金为 即每月领取约4300元的退休金,直至80岁 6. 设F(x,y)=lnxlny,证明:若u0,v0,则 F(xy,uv)F(x,u)+

6、F(x,v)+F(y,u)+F(y,v)设F(x,y)=lnxlny,证明:若u0,v0,则F(xy,uv)F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v)F(xy,uv)=ln(xy)ln(uv)(lnx+lny)(lnu+lnv) lnxlnu+lnxlnv+lnylnu+lnylnv =F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v) 7. 使用年距增长量和年距增长速度分析问题,可排除_的影响。使用年距增长量和年距增长速度分析问题,可排除_的影响。季节变动8. 2xydy=(2y2x)dx2xydy=(2y2-x)dx9. 已知两条光滑的平面曲线C1:f(x,y)=0及C2:

7、(x,y)=0,又点P(,)C1,点Q(,)C2,且P,Q都不是曲线的端点,试证:已知两条光滑的平面曲线C1:f(x,y)=0及C2:(x,y)=0,又点P(,)C1,点Q(,)C2,且P,Q都不是曲线的端点,试证:如果这两点是两曲线上相距最近或最远的点,则下列关系式必成立:(即PQ为C1,C2的公共法线)设P,Q分别为曲线C1,C2上的两点,且PQ为两曲线上相距最短距离,由(1)可知PQ位于曲线C1的法线上,也位于曲线C2的法线上,因此必定位于曲线C1与C2的公共法线上,由(1)可知曲线c1在点P(,)处的法线向量的斜率为,曲线C2在点Q(,)处法线向量的斜率为,又线段PQ的斜率为,可知有

8、从而有 由于上述方法是(1)中求极小值而得,相仿,如果PQ为曲线C1与曲线C2的最远距离,利用相仿方法求极大值,也可得出相同结论 10. 计算曲线y=cosh x上点(0,1)处的曲率.高等数学复旦大学出版第三版上册课后答案习题二计算曲线y=coshx上点(0,1)处的曲率.计算曲线y=cosh x上点(0,1)处的曲率.答案仅供参考,不要直接抄袭哦11. 设f(x)C2a,b,s(x)为f(x)的三次样条插值第一边值问题的解设f(x)C2a,b,s(x)为f(x)的三次样条插值第一边值问题的解设a=x0x1xn=b,s(x)为f(x)的三次样条插值第一边值问题的解记(x)=f(x)-s(x)

9、,则 (x)C2a,b,(xi)=0,i=0,1,n, (4.54) (x0)=0, (xn)=0, 且s(x)在每一个小区间上是常数于是 (4.55) 如果 (4.56) 则由(4.55)式有 现证明(4.56)式利用(4.54)式可得 =0$记(x)=f(x)-s(x),(x)=s(x)-sa(x),则 (4.57) 如果 (4.58) 则由(4.57)式得 现证明(4.58)式注意到 (x)C2a,b,(xi)=0,i=0,1,n, (x0)=(xn)=0, 以及(x)在每一个小区间上为常数,得 =0 12. 某年级三个班,进行了一次数学考试,从各班随机抽取部分学生,记录其数学成绩如下表

10、所示: 1班 2班某年级三个班,进行了一次数学考试,从各班随机抽取部分学生,记录其数学成绩如下表所示:1班2班3班73668960887778314887684179598245938078916251767156689l53367743738596748056797115试在显著性水平=0.05下检验各班成绩有无显著差异设各总体是正态总体,且方差相等以i记第i班平均成绩(i=1,2,3),待检假设H0:1=2=3 s=3,n1=12,n2=15,n3=13,n=40, SE=ST-SA=13349.75,列出方差分析表如下: 方差来源 平方和 自由度 均方 F比 结论 因素 335.35 2

11、 167.675 0.4647 不显著 误差 13349.75 37 360.80 总和 13685.1 39 F0.05(2,37)=3.23F比=0.4647,故拒绝H0,认为各班成绩无显著差异 13. 试求具有y1=e-x,y2=2xe-x,y3=3ex为特解的常系数线性齐次方程试求具有y1=e-x,y2=2xe-x,y3=3ex为特解的常系数线性齐次方程y+y-y-y=014. 计算mod5的整数的加法表、乘法表和减法表。计算mod5的整数的加法表、乘法表和减法表。 oplus 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0

12、1 2 4 4 0 1 2 3 otimes 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1 ominus 0 1 2 3 4 0 0 4 3 2 1 1 1 0 4 3 2 2 2 1 0 4 3 3 3 2 1 0 4 4 4 3 2 1 0 15. 证明:设A是n级矩阵,则AA=A2证明:设A是n级矩阵,则AA=A2正确答案:根据课本定理3AB=A.B得AA=A.A而A=A故AA=A2。根据课本定理3,AB=A.B得AA=A.A,而A=A故AA=A2。16. 设a=3,5,-2,b=2,1,9,试求的值,使得: (1)a+b与z轴垂直; (2)a+b与a垂直,并证明此时|a+b|取最小值设a=3,5,-2,b=2,1,9,试求的值,使得:(1)a

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