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1、 1 我的高考数学错题本第4章 导数及其应用易错题易错点1误解导函数与单调区间的关系【例1】是在区间的导函数，则“在区间内”是“在该区间内单调递增”的_条件【错解】充要【错因】一般地，由能推出为增函数，反之，则不一定如函数在区间上单调递增，但是，因此是函数为增函数的充分不必要条件【正解】充分不必要【纠错训练】若函数在上为减函数，求实数的取值范围【解析】由在上恒成立，当时，满足题意；当， ，解得综上所述，易错点2 误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系【例2 】 函数在处有极值10，求的值【错解】由解得【错因】对“导数为0”与“有极值”逻辑关系分辨不清，错把为极值的必要条件当作充要条件【正解】，
2、依题意得，解得或，当时，所以在处取得极值；当时，此时在无极值所以易错点3对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚【例3】 已知函数f（x）的导函数的图像如左图所示，那么函数的图像最有可能的是 【错解】选【剖析】概念不清，凭空乱猜【正解】由导函数的图像，可得：当时，当时， ，且开口向下；则在上递减，在上递增，在递减；故选A 【纠错训练】函数的导函数的图象如右图所示，则函数的图象可能是（ ） 【解析】试题分析：由图像可知导数值先正后负，所以原函数先增后减，只有D符合易错点4 遗忘复合函数求导公式【例4】函数 的导数为 【错解】【错因】遗忘复合函数求导公式，复合函数对自变量的导数等于已知函数
3、对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即【正解】易错点5切线问题中忽视切点的位置致错【例5】已知曲线，过点作曲线的切线，求切线方程【错解】由导数的几何意义知，所以曲线的切线方程为【错因】点根本不在曲线上，忽视切点位置致错【正解】设切点坐标为，则切线的斜率，故切线方程为，又因为点N在切线上， 所以， 解得，所以切线方程为y=21x+32注意：导数的几何意义是过曲线上该点的切线的斜率，应注意此点是否在曲线上【纠错训练】 已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（1，f（1）处的切线方程为，求函数的解析式；解析：由的图象经过P（0，2），知d=2，所以由在处的切线方程是，知故所求的解析式是易
4、错点6忽视极值的存在条件致错【例6】已知函数在处有极值10，求分析：抓住条件“在处有极值10”所包含的两个信息，列出两个方程，解得 有两组值，是否都合题意需检验【错解】， 根据题意可得，即，解得【错因】极值存在的条件是在极值点处附近两侧的导数值应异号【正解】， 根据题意可得，即，解得而当时，易得此时，在x=1两侧附近符号相同，不合题意当时，此时， 在两侧附近符号相异，符合题意 所以，易错点7混淆极值与最值是两个不同的概念致错【例7】求函数在3，3上的最值【错解】=3x24x+1=（3x1）（x1）， 所以极值点为或， 又 =0， 所以函数最大值为，最小值为0【错因】需注意在闭区间上的最值应是区
5、间内的极值点的值与闭区间端点的值进行比较而得，而不能简单地把极值等同于最值【正解】=3x24x+1=（3x1）（x1）， 所以极值点为x=1或x=， 又 =0， 所以函数最大值为12，最小值为48易错题8忽视“导数为零的点”与“极值点”的区别致错 【例8】函数的极值点是（ ） A B或或 C D或【错解】，即， 由得， x=0或x=1 故选（B）【正解】由有x=0或x=1 ，随x的变化情况如下表:x(,0)1(1,0)0(0,1)1(1,)00+0+无极值极值无极值故选（C）易错点9用错恒成立的条件【例9】 已知函数若时，0恒成立，求的取值范围【错解一】恒成立，0恒成立解得的取值范围为；【错解
6、二】若时，0恒成立，即，解得的取值范围为【错因】对二次函数“当上0恒成立时，0”片面理解为“0，恒成立时，0” ；或者理解为这都是由于函数性质掌握得不透彻而导致的错误二次函数最值问题中“轴变区间定”要对对称轴进行分类讨论；“轴定区间变”要对区间进行讨论【正解】设的最小值为，（1）当，即4时，730，得故此时不存在；(2) 当，即44时，30，得62，又44，故42；（3），即4时，70，得7，又4，故74；综上，得72 【错题纠正巩固】1已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是 ( )A B C D 【答案】 A【解析】 由得几何，即，切线方程，即选A2若存在过点的直线与曲线和都相切，则等
7、于 ( ) A或 B或 C或 D或【答案】A【解析】设过的直线与相切于点，所以切线方程为即，又在切线上，则或，当时，由与相切可得，当时，由与相切可得，所以选3已知对任意实数，有，且时，则时 （ ）A BC D【答案】B4曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A 【答案】 D5已知二次函数的导数为，对于任意实数都有，则的最小值为 （ ）A B C D【答案】 C6已知函数的图象在点处的切线方程是，则 【答案】 37设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为 ( )ABCD【答案】 A【解析】由已知，而，所以故选A8若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是
8、( )yA B C D【解析】因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上各点处的斜率是递增的，由图易知选A 注意C中为常数噢9设函数则 ( )A在区间内均有零点 B在区间内均无零点C在区间内有零点，在区间内无零点 D在区间内无零点，在区间内有零点 【解析】由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，故选择D10若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 【解析】由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点。当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，
9、当如图2，此时正好有一个交点，故有应填或是解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得11已知函数 （I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值； （II）若函数在区间上不单调，求的取值范围【解析】（）由题意得 又 ，解得，或（）函数在区间不单调，等价于导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数， 即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有， 即：， 整理得：，解得12设函数（）若曲线在点处与直线相切，求的值；（）求函数的单调区间与极值点【解析】 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力（）,曲线在点处与直线相
10、切，（）,当时，函数在上单调递增，此时函数没有极值点当时，由，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，此时是的极大值点，是的极小值点13已知函数f(x)=xax+(a1)，（1）讨论函数的单调性；（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有【解析】 (1)的定义域为（i）若即,则故在单调增加(ii)若,而,故,则当时，;当及时，故在单调减少，在单调增加。(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加(II)考虑函数 则由于1a5,故，即g(x)在(4, +)单调增加，从而当时有，即，故，当时，有14已知函数求的单调区间； 若在处取得极值，直线y=my与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围 【解析】（1）当时，对，有当时，的单调增区间为当时，由解得或；由解得，当时，的单调增区间为；的单调减区间为。（2）因为在处取得极大值，所以所以由解得。由（1）中的单调性可知，在处取得极大值，在处取得极小值。因为直线与函数的图象有三个不同的交点，又，结合的单调性可知，的取值范围是。
