《数值分析笔记》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值分析笔记（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章1设x为准确值，X*为x的一个近似值称e*=x*-x为近似值的绝对误e *为相对误差,差，简称误差O*=|e* |叫做近似值的误差限，一=x* 二V一 *-冋为相对误差限。2采用四舍五入原则时，值的误差不超过末位数字的半个单位（对n估计值取 3.14 时，误差 |n-3.14|W0.5 * 10-2).3.e(x* x*) 8 (X*) + E(x*)e(x* X*) |%*|(%*) + |%*|(%*) 1 2 1 2 2 1/ / A lX*l(X*) + IX*l8(X*) (x*/x*) _一-4.相近数相减、大数吃小数等问题会加大误差。lT1.已测得某场地长 的值为l*=11
2、0m，宽d的值为d*=80m,已知 |1 - l*| 0.2m, |d - d*| 0.1m.试求面积s=ld的绝对误差限与相对误 差限。ds = ds =解：因为s= ld,牙=a- =oda|(竺)*|(d*),ddds *(_,) = I* = 110m oa故 (S*) Q | (竺)*| 心)dlds *(d*) = 0.1m(f) = d* = 80m dle(1*) = 0.2me得绝对误差限(s*) = 27(m2)相对误差限耳=Q Q匕031%|s*|l*d*T3计算=1J01xne%dx(n= 01,)并估计误差。解：由分部积分可得I = ei J1 xnd(ex) = e
3、i (xne%|o J1=1 ei n f1 xm exdx = 1 n/“ Jo加I = e1 f1 ex dx = 1 e100得到通式忙1律計:J12)为计算出/0须先计算e-i,采用泰勒展开式，取k=7，使用四位小数 计算。由 e1 1 + (1 ) + (1)2 + + (1)kf 1 q 0.3679, 2!k!ii截断误差 R7=|e-i-0.3679 卜 可 4 * 10-4当初值取/0 q 0-6321 =几时，用式(1 )递推计算公式为A=70 = 0.6321 nln1 , n = 12,计算结果见表 1-1表 1-1n0123456789/ n0.63210.36790
4、.26420.20740.17040.14800.11200.2160-0.72807.552从表中n=8时，出现负值，这与打大于0矛盾。由积分估值得： g1 = e1 ( min ex) f1 xndx / 2,这说明/8完全不能近似/8了它表明计算公式(A)是不稳定的。可以通过另一种计算方案由式取n=9，得1/9丄,粗略的10 9 10取/9 Q 1 (_! +二)=0.0684 =峙，然后将公式(1)倒过来算，即由9 2 10 10 9【9算出卩常，公式为/* = 0.068491/；1 =乳(1 /；)小=9,8，,1计算结果如表 1-2表 1-2n0123456789/WIn0.63
5、210.36790.26420.20740.17040.14800.11200.2160-0.72807.552/*n0.63210.36790.26430.20730.17080.14550.12680.11210.10350.0684可以看出坊与/0的误差不超过10-4记E; = C - ，则旧0=计抽 叼比|E;|缩小了 n!倍，因此，尽管代|较大，但由于误差逐步缩小， 故可以用近似仃反之，当使用方案(A)计算时，尽管初值相当准确， 由于误差传播是逐步扩大的，因而计算结果并不可靠。故方案(A)是数值不稳定算法，方案(B)是数值稳定算法。第二章 1.插值问题：对于给定的函数(上的点)，构造
6、简单插值函数逼近原函 数，保证在所给点的位置插值函数值等于原函数值。2拉格朗日插值多项式：Ln(x) = yklk(x)其中儿为各个插值 节点的函数值，ik(x)是插值函数的基函数。并满足= j呵=oy满足此条件的lk(xk )通式为-(x xo) (xxk-1)(x 一叫1) a 一%)(叫一 )(叫一叫-1)(叫一仏)(叫一引入记号n1 (兀)= (xx0)(x 一 卩) a 一 x误差Rn(x) = f(x) 一 Ln(x) = :：)(：)% (X)S E x0，xn通常只需求出f(n1)()的最大值即可3牛顿插值公式：牛顿插值公式在得出插值函数后，即使再添加新的 节点，也无需重新计算
7、之前的参数。只需将新参数添加到多项式上即 可。通式为 Pn(x) = % ar(x 一 ) a n( 一 )(x 一 %n-1)定义均差：f九叫=f际)一张0)xk x0fy Y y 1 = J L 1f 2 nA丿 L 0 1 n1A八%,无1, ,xni =x 7n 0即n+1项的均差为后n项的均差减去前n项的均差再除以首尾之差Pn(x) = f (%)f%0，%1(x - xo) f xofx1ffxn(x xo) (x - xn-1)误差为 Rn(x) = f(x) 一 Pn(x) = fx,x0,诅(x) 通常使用九笔兀0，. uf%，勺,兀血来近似计算均差表XkfX一阶均差二阶均差
8、二阶均差四阶均差X。%X1f(xjX2fg)fx1,x2X3fXfXyXjfx1,x2,x3fxx/xjX4fXfx3,xjfx2,x3,x4fx1,x2,x3,x44.差分形式的牛顿插值公式：在遇到等距节点时，使用差分牛顿公式。X = X khh 为步长 K0定义差分：耳处的一阶差分：fk = fk1 人,二阶差分:%=/“ 一 人;n阶差分:Lnfk = n-1fki 一心-叭令兀=%0班得Pn(X)= 0叫牛Mt-) (：)2!o力n!余项心()=T(f)hm f(m )(S)S E (xo，xv) 几(n1)!o L差分表5.埃尔米特插值：满足在某些点上的导数值相等。三点一导。求满足
9、P(叫)= (0,1,2)以及Pf(xl) = ff(x1)的插值多项式与余项。P(x) = f(x0) + fx0，x1(x x0) + fx0，x1，x2(x x0)(x x1)+ A(x x0)(x x1)(x x2)由pgfj得P 心)=0 + fx0，x1 + fx0，x1，x2(x1 x0)+fx0fx1fx2(x1 x1)得 A =广(咒1)穴咒0汎1穴咒0汎1汎2(咒1咒0)+ (X %)(% - x2) = ff(x1)(%1%0)(%1%2)余项为 R(x) = 4/(5)(% x0)(x x1)2(x x2)两点及导数相等，插值条件为以及=0)=k -X )(fc X(1
10、+1+v1+ v=) - k )Xkr-v1+/1 = 丿X1(+X朋況俺1) = 0瞪炉0第+=1；得V vv vn*/v */v*/v */v乙& (兀)=(1 + 2 )(g .ky ”丿一y */V*/V*/V*/Vk+1 k k k+1V vv v9*/v*/v*/v*/v乙伉(%)=(i + 2g( ).上+1x x兀丿k k+1k+1 kX X 20卫)= (x xk) Q f+1)-k k+1你1（咒）=（咒_叫1）（二）2.k1k误差为R3（兀）= y（4）（5）（%_叫）2（兀_仏）2T1.已知 sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.
11、36=0.352274,用线性插值及抛物插值计算 sin0.3367 的值并估计截断误差。解：由题意取 x0=0.32,y0=0.314567; x1=0.34,y1=0.333487;x2=0.36,y2=0.352274用线性插值计算，取 x0 与 x1 ，由公式有厶(%) = x-xi y xxo y1y 0y y1兀0 X1兀1兀0或乙(X) = y0儿_儿(x _ x0)丄Uy vu10得厶(兀)=0.3145670.946(% _ 0.32)sin(0.3367)匕厶/0.3367) = 0.330365其截断误差冈(x)| z|(x_x0)(x_%1)|,1 2! 0 1M =
12、max |f(兀)| = max |s加x|=s加兀 0.3335 %0X%1%0x%1故|R 1(0.3367)| = |s加0.3367 厶(0.3367)| 0.92* 105使用抛物插值计算，根据拉格朗日插值公式，厶 2 (x) = Mo (%)人(%) 呼2(%)其中lk(x)满足S(= 0：=代入数值，得插值函数sin(0.3367)L2(0.3367)=0.330374其误差上限尺2(兀)63|(%_%0)(%_ %1)(% 一 %2)|,其中max|广（咒）|=co% 0-94932(0.3367) = |s加0.3367 厶 2(03367)|2.0316* 10-7T2给定f（x） = %2，%0 =扌，叫=I% =试求代劝在卜孑上的三次埃 尔米特插值多项式P（x）使它满足P（死）=f （叫）Q = 0,1,2）,P /（叫）= （引解：由题可得1273f （%）= 8（叫）=1，/（x2） = g，户（叫）=2构造均差表如下：叫114811769271911481030由埃尔米特插值通式得1 71111
