《数列递推关系式求通项常用方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列递推关系式求通项常用方法（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、由数列的递推公式求通项公式的常用方法递推数列的通项问题具有很强的逻辑性，是考察逻辑推理和转化化归能力的 好素材，因此也成为近几年高考的热点.解决这类问题的关键在于将所给的递推 数列经过变形、代换等手法转化为等差或等比数列，然后求其通项公式.类型 1： a = a + f （n）n+1n解法：把原递推公式转化为a - a二f （n），利用累加法（逐差相加法）求解n +1 na = a + f (n)型:n+1na = a + f (1), a = a + f (2),a = a + f (n 一 1),2132nn -1累加得 a = a + f (1) + f (2) + + f (n 一 1
2、); n1累加法也可以写为an=(a a ) + (a a ) + + (a a ) + a nn 一1n 一1n 一 2211例：已知数列匕满足a = 2na =21a = a + n + 1n+1n类型 2： a= f (n)an +1n解法：把原递推公式转化为U = f （n），利用累乘法（逐商相乘法）求解ana = f(n)a 型：n+1na = f (1)a , a = f (2)a，,a = f (n 1)a ,21 32nn 1累乘得an = af (1)f(n - 1)；累乘法也可以写为ananan1an1 an 2a2 a .a11例：已知 a1 = 33n 1a =an +
3、1 3n + 2 n(n 1)，求 an类型 3： a = pa + q （其中p， q均为常数，（pq（p一 1）丰0）n +1n解法1 （待定系数法）：把原递推公式转化为a -九=p （a -九），其中 n+1n九由待定系数法求得，再利用换元法转化为求等比数列a -九进而求解。n解法 2(相减法)：由 a =pa + q得a = pa + q ,两式相减有n+1nnn-1a a = p(a a ),构造等比数列a a 得a a = (a a )pn-1,然后用n +1 nn n -1n n -1 n n -1 2 1累加法即可求 a .n (注意：该模型是递推数列求通项公式的基本模型，大部
4、分的递推数列最 终都可以转化为该模型进行解决.)例:已知数列(a 中，a = 1, a = 2a + 3，求a .n1n +1 nn类型 4：+ rqn (其中p, q均为常数，pqr(p 1)(q 1)丰0)n +1n解法：当p=q时，则先在原递推公式两边同除以qn+1，得： 人=匕 a +二引qn+1 q q n q入辅助数列(其中b二么)，得：b =匕b +1再待定系数法解决。nn q nn+1 q n q当p丰q时，则先将原等式转化为a +qn+1 = p(a + Xqn)，由待定系数法求得九，n +1n从而转化为a +九qn是公比为p的等比数列;n例:已知数列L 中,na = 5,
5、a = 1 a + （丄）“+1,6 n+12 n 2变式：在数列a 中，已知a = 2, a = 2a + 3n,求a .n1n+1nn类型5:递推公式为a二pa + qa （其中P，q均为常数）。（不常用）n+2n+1n解法：先将原式转化为a -xa = y（a -xa ）（其中x,y由待定系数法求得）,n + 2n +1n +1n进而得到等比数列a - xa ，再为转化为模型4求a .n +1nn例:已知数列L 中，a = 1, a = 2, a = a +1 a，求an12n+ 2 3 n +1 3 nn类型6：递推公式为S与ann的关系式。（或S = f（a ）nn解法：这种类型一般
6、利用a =Si(n=21)， 由n S S nn -1(n2)a = S - S = f (a ) - f (a )消去 S (n 2)或 S = f (S - S ) (n 2)消去 ann n -1nn -1nnn n -1n进行求解。例：已知数列L 前n项和S = 4 - a.nnn 2 n-2(1)求a与a的关系；(2)求通项公式a .n +1nn类型 7：+ an + b （p 丰 1、0,a 丰 0）n +1n解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列， 即将原等式化为a + x（n +1） + y = p（a + xn + y）（其中x,y由待定系数法求得），从而转化为 n +
7、1nL + xn + y 是公比为p的等比数列。例:设数列(a ： a = 4, a = 3a+ 2n - 1,(n 2)，求 a .n1nn-1n类型 8： a = par (p 0,a 0)n+1nn解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为a = pa + q ,再利用待定系数 n +1n法求解。例：已知数列a 的各项都是正数，且满足：a = 1,a = -a (4 - a ),n e N.求数列n0n +1 2 nna 的通项公式 an.nn类型 9： a = f(n)ann+1 g (n)a + h(n)n解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为a = pa + q。n +1n例：已知数列an满足：a = S ,a = 1，求数列an的通项公式。n 3 - a +11n-1其他模型归纳推理法有些递推数列的通项若以上方法都不凑效时，我们不妨运用“归纳猜想证明”的归纳推理法，从前几项中找出其规律，然后猜出其通项(适用于选 择填空题，若解答题用此法必须加以证明)例.在数列a 中，已知 a = a,a = b,a = a 一 a (n & N*),则a =.n12n + 2n +1n2013
