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1、第三章函数的导数与微分习题 3 1=ax +b(a ,b 为常数)(2) y = cosx(4) y = xf (x : -x) - f (x)1 .根据定义求下列函数的导数1y = lim y = lim(1)因为 JAx 1所以(2)因为7y = lim.- = l”-1 lim . x Q (x，：,x)x _cos(x 二x) c cosx所以因为所以y = lim * = lim.j0；：xJ。.axlim =x * ；：x =ay = aa(x ：=x) b - ax b因为y = lm0 号=lm0xx2sin(x )sin =lim2- = -sinxx 0二xy - -sin
2、 xlim -x=J0 - x(、 x 二x. x)=ljm -=J x x 7 x2.x所以2 .下列各题中假定f (xo)存在，按照导数的定义观察下列极限，指出A表示什么？limof (x0 - x) - f (xo):一 A(2)lim x )0x=A,人、(其中f (0) =0且f (0)存在)f (tx) - f (0)二A(其中f (0)存在)f (Xo h) - f (Xo -h)lim 二 a(4) h 0hlim f (xo - x) - f (xo)解(1)因为 3Axf(Xo - . ：X) - f (Xo)f (Xo)故 A = - f (x。).f(x) . f(x)
3、 - f(0)lim lim/c、(2)因为 T x =7x -0= f (0)故 A = f (0).(3)因为故 A =tf (0)f(tx) -f(0)xf (0 tx) - f (0) _ tx =tf (0)f (X0h) - f (X0 -h)lim 因为3hf (X0h) - f (X0)f (X0 - h) - f (X0)=lim -h 0hh.f (X0 h) - f (X0)f (X0 - h) - f (X0)=lim - lim h-ohh0-h=f (X。) f (X0)=2f (X0)_ ，A =2f (X0)dy ,求dxx2, x ： 1 y =3.已知 x，
4、x -1解由已知易得elimfiex 1 x-1x -1 lim.=x 1 x 7 =1x2 -1 lim =x1 _ x -1 =2当 x l im(x)- f(0)(2)因为J0x0cosx - cos0= lim x 0 x=limcosx -1x0x2 x-2sin -= lim2x；0x所以函数y = c0sx在x = 0处可导，从而也连续.-2-lim f (x) = lim x =0 = f (0)(3)因为TTlim f (x) = lim (-x) = 0 = f (0) x 0 -x 0 -所以函数f(x)在x = 0处连续.又因为f (x) - f (0) x2 -0f
5、(0)= lim=lim =0xQ x -0 x )0 x - 0f (x) - f (0)-x-0f _(0)= lim 二 lim 二-1x0 -x -0x.0- x-0f (0) = f.(0)(故f (0)不存在，即函数f(x)在x = 0不可导.x2x , 1f(x)%”1,为使函数f (x)在x = 1处连续且可导,a ,b应取什么值?解由题意，有lim f (x) = lim f (x) = f (1).! x 1 -x 1f-(1)=f(1)首先可得a+b = 1 即b = 1 a一.X2 -1f (1) = lim = 2又因为 一 x 1 x -1ax b -1 ax 1
6、- a -1_f (1) = lim 二 lim 二 ax-1x-1 Jx -1所以a = 2，于是b = 1.故当a = 2, b = 1时，函数f (x)在x = 1处连续且可导.27.求曲线y=x在点(T, 1)处的切线方程. 解因 y =2 y x2求 nmf(an)故 曲线y = x在点(-1,1)处的切线方程为y-1 = -2(x+1) 即y - -2x -1.8*.设曲线f （x） = xn在点（1, 1）处的切线与x轴的交点为（an, 0）,解因为 f (1)=nxn x =n所以曲线f（x）=xn在点（1,1）处的切线方程为y 1 = n ( x 1)an =1 - n(1
7、-.0)切线与x轴的交点为 nf(an) =(1)n从而n习题 3 21求下列函数的导数：3 c 2x ,(1)y=4x -2x +5(2)y =2 In x3(3 ) y = 2x sin x y = 3 tan x - 4In x 1y 二(5) y = (3 2x)(2 3x)(6) x ln xex21 sinty =。 y =(7) x x(8)1 cost2(1)y =12x -4xx 2xy = ln x(ln 2)(2 )(8) x ._ 2._ 3(9) y =6x sinx+2x cosx 2(10) y =3 sec x .(11) y =2(23x)+(3+2x)(3)
8、 = 5 12x.(6)1.1 ln x22In x = x1x In2 xx 2 x2 xx2e x -2e x 2 x e -2xe 2xyt(8)cost(1 cost) -(1 sin t)( -sin t) cost sin t 12(1 cost)(1 cost)22.求下列函数在给定点的导数:(1)(2)(3)_xy = xe ,求 y |x且一 .1,卜-s sin 二cos 1、 2,求P展一、 3 x2 f (x)= j j( )5-x 5 ,求 f (0)和 f (2). x x解(1)因为y =e +xe ,所以(2)因为:| 所以% =sin 二1.icos i -
9、sin ?21.sin 二 icosi 2(3)因为f所以1 一一二=-sin122,三月1 cos -=一222(x)-3(5-x) 2 I (5-x)25 = x -5(0)f (2)15._ 2n一3.求 1+2x+3x +|l|+nx (x=1)的和.nn J注意到(x ) =nx ，有4.1 2x 3x2 IH nxn=(1 x x21 -(n 1)xnnxn1(1 - x)2(x = 1).Hlxn)=2求曲线y=sinx+x上横坐标为x = 0的点处的切线方程和法线方程当x=0时，y=o,且有 y 1: cos0 0=1y = cosx 2x习题 3 31 .求下列函数的导数：(
10、1)y = 3 -2x2 y = arcsin x2(5)y=lncose2x3y = e(4) y = ln(xa2x2)11y = arctan (6)x2xy : 22i3-2x2(一 4x/3=272x322 2x3(2)y = e (6x ) = 6x ey 2x.1 - x 2, x = 2,x(1 -x)(1(5)(6)cose1 x12222-xr(一sine )e (-2x) =2xe, tane(二)x1x2.2.求下列函数的导数:(1)节=e 2 cos2x(2)y = x lnln(ln x)(3)_ - _ n二 sin x cos nx(4)y = x2,2 - l
11、n2 x(1)2,12 ,y = e 2 ( )cos2x e 2 (-sin 2x) 2 21-e2cos2x 4sin 2x(2)y = lnln(ln x) ln(ln x) In x.n- ny =nsin xcosxcosnx sin x(-sin nx)nn 1n nsin x cosxcosnx -sinxsin nx=nsinn xcos(n 1)xy =2x 2Tn2xx2(22 - ln2 x)(-2ln x)-xln x3.设(1)(3)2x 2 -ln2 x 2 -ln2 xf可导，求下列函数的导数=f (ex xe)= f(x2 a)ndydx :(2)2、y = cos2x - f (sin x)(4)y = f f (x In x)(5)一, 1、f ( arctan x)dy(1) dx=f (exe、x ) eeex(2)dy/ 2 、=-2sin 2x - f (sin x)dx2s
