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1、第一讲因式分解一，知识梳理1. 因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。即：多项式一几个整式的积11,1 , 八例: 3 ax + 3 bx = 3 x(a + b)因式分解，应注意以下几点。1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幕的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解;因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。2. 因式分解的方法：(1) 提公因式法：定义
2、：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写 成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可 以是一个单项式或多项式。系数一一取各项系数的最大公约数字母取各项都含有的字母指数一一取相同字母的最低次幂例：12a3b3c - 8a3b2c3 + 6a4b2c2 的公因式是 解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部分a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式a3b2c，故多项式的公因式是2 a 3b2c.提公因式的步骤第一步：找出公因式；
3、第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是 提公因式后剩下的另一个因式。注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项 有负号的，要先提取符号。例 1：把 12a2b - 18ab2 - 24a3b3 分解因式.解析：本题的各项系数的最大公约数是6,相同字母的最低次幂是ab，故公因式为6ab。解：12a2b - 18ab2 - 24a3b3=6ab(2a 一 3b 一 4a 2b 2)例2：把多项式3(x-4) + x(4 -x)分解因式解析：由于4 一 x =-(x - 4)，多项式3(x - 4) + x(4 一 x)
4、可以变形为3(x - 4) 一 x(x - 4)，我们可以发现多项式各项都含有公因式(x - 4),所以我们可以提取公因式(x - 4)后， 再将多项式写成积的形式.解：3(x - 4) + x(4 - x)=3( x - 4) - x(x - 4)=(3 - x)( x - 4)例3：把多项式-x2+ 2x分解因式解：x2 + 2 x = (x2 2 x) = x( x 2)(2) 运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方 法叫做运用公式法。i.逆用平方差公式：a2 - b2 = (a + b)(a -b)b. 逆用完全平方公式：a2 土 2ab
5、+ b2 = (a 土 b)2c. 逆用立方和公式：a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)(拓展)d. 逆用立方差公式：a3 -b3 = (a -b)(a2 + ab + b2)(拓展)注意：公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若 多项式是三项式，可考虑完全平方公式。例1：因式分解a2 - 14a + 49解：a2 - 14a + 49 = (a - 7)2例 2：因式分解a2 + 2a(b + c) + (b + c)2解：a2 + 2a(b + c) + (b + c)2 = (a
6、+ b + c)2(3) 分组分解法(拓展) 将多项式分组后能提公因式进行因式分解；例：把多项式ab - a + b -1分解因式解：ab - a + b -1 = (ab 一 a) + (b 一 1)=a(b 一 1) + (b 一 1) = (a + 1)(b 一 1) 将多项式分组后能运用公式进行因式分解.例：将多项式a2 - 2ab -1 + b2因式分解解：a22ab一1+b2=(a2 2ab + b2) 1 = (a b)2 1 = (a b + 1)(a b 1)(4) 十字相乘法(形如X2+(P + q)x + Pq = (X + P)3 + q)形式的多项式，可以考虑运用 此
7、种方法)方法：常数项拆成两个因数p和q，这两数的和P + q为一次项系数x 2 + (p + q) x + pqx 2 + (p + q) x + pq = (x + p)( x + q)例：分解因式x 2 x - 30补充点详解我们可以将-30分解成pXq的形式，使 p+q=T, pXq=-30,我们就有 p=-6,q=5 或 q=-6,p=5。所以将多项式x2 + (p + q)x + pq可以分以分解为(x + p)(x + q)分解因式x 2 + 52 x +100补充点详解我们可以将100分解成pXq的形式，使 p+q=52, p X q=100,我们就有 p=2,q=50 或 q=
8、2,p=50。所以将多项式x2 + (p + q)x + pq可解为(x + p)(x + q)x2 一 x 一 30 = (x 一 6)( x + 5)3. 因式分解的一般步骤：如果多项式有公因式就先提公因式， 四项或四项以上的多项式，x 2 + 52x +100 = (x + 50)( x + 2)没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二 套”、“三分组”、“四十字”。注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解， 若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内
9、因式分解，因 此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。一、例题解析提公因式法提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面确定公因式的方法：系数一一取多项式各项系数的最大公约数； 字母(或多项式因式)一一取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.【例1】分解因式: 15a (a - b)2+1 - 10ab(b - a)2n (n 为正整数)4a2n+ibm - 6an+2bm-i (m、n为大于1的自然数)【巩固】分解因式：(x - j)2+1 - (x-z)(x - y)2 + 2(y - x)2n(y-z)，n 为正整数.【例2】先化简再求值，y (x + y)+(x + y )(x - y )-x 2，其中x = -2， y =.22 【巩固】求代数式的值：-2)2(2x +1)-(3x-2)(2x +1)2+心+1)(2-对，其中-.2.2221【例 3】已知：b + c 一 a = -2 ,求 3a(a 一 b 一 c) + b( c 一 3 a + 3b) + 3 c(2b + 2c 一 2a)的值.【巩固】分解因式：x3(x + y-z)(y + z-a) + x2z(z-x-y) + x2y(z-x-y)(x-z-a).
