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1、第一学期期末高等数学试卷一、解答下列各题（本大题共16小题，总计80分）1、（本小题5分）2、3 求极限lim -xx 1 22x3（本小题5分）求x dx.（1 x2）2（本小题5分）12x 169x2 12x7、求极限 lim arctan x x(本小题5分)求-dx.1 x(本小题5分)求旦x石t2dt.dx 0(本小题5分)求 cot6 x csc4 xd x.(本小题5分)* 2 11本 1 2 cos dx.一 x x.1 arcsin x（本小题设x y （本小题5分）e2cost确定了函数ye sint5分）y(x)，求 dy dx、3求 x 1 x dx.010、（本小题5
2、分）求函数 y 4 2x11、（本小题5分）x2的单调区间sin x 2- dx. 8 sin x12、（本小题5分）设 x（t） e kt （3cos13、（本小题5分）t 4sin t),求dx.设函数y y（x）由方程y2 ln y2x6所确定，求曳 dx14、（本小题5分）求函数y 2ex15、（本小题5分）求极限lim （xxe x的极值求 cos2x d x.1 sin xcosx、解答下列各题 （本大题共2小题，总计14分）1、（本小题7分）另三边需砌新石条围沿2、（本小题7分）2求由曲线y ）和y2三、解答下列各题某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场，一边可用原来的石
3、条围 沿, ，问晒谷场的长和宽各为 多少时，才能使材料最省.3所围成的平面图形绕 ox轴旋转所得的旋转体的 体积.8（本大题6分）设f（x）x（x 1）（x 2）（x 3）,证明f （x）0有且仅有三个实根一学期期末高数考试（答案） 一、解答下列各题（本大题共16小题，总计77分）1、（本小题3分）解:原式 lim 乎12x (1x2)26x 18x 126xlimx 212x 1822、(本小题3分)(122 1 x2c.3、4、（本小题3分）因为 arctan x故 lim arctan xx(本小题3分)一而 lim arcsin 一 2 xxarcsin1 0 xdxdxdxx ln
4、1dx1 xx c1d(1 x )5、（本小题3分）原式 2x11 x4（本小题4分）,64.cot x csc xd x.6 一 .2cot x(1 cot x)d(cotx)1719-cot x -cot x c. 797、(本小题4分)et (cost22tsint2)et (2sint cost)T 2 Z ；2T(cost 2t sint )（本小题4分） . o 原式 2 (u u )du 1n 2 66分)dx x (t)dt11原式i cos-d(-)- x xsin21（本小题4分）解：dy dxe2t (2sint cost)1161510、（本小题5分）函数定义域（，）y
5、 2 2x 2（1 x）当 x 1, y 0,1当x 1, y0函数单调增区间为当x 1, y0函数的单调减区间为1,11、（本小题5分）原式2 d cosx0 c20 9 cos x1, 3 cosx 2-ln12、（本小题6 3 cosx 013、kte (4(本小题6分)2yy2yy3k)cos t (4k 3 )sin t dt6x553 yx y2 114、（本小题6分）定义域（，）,且连续x 2x 51-x - y 2e (e -) 2驻点：x ln 22由于 y2ex ex 0故函数有极小值,y(y In -1) 2、. 215、（本小题8分)1 2.(1 -)2 (2 -)(3
6、 -)2原式limx(10 1)2x(101 -)(11 x10 11 216 10 117216、（本小题解:10分)cos2x.一dx1 sinxcosxcos2x1 sin 2x2dxd(-2sin 2x 1)1 sin 2x2ln 1 -sin 2x2二、解答下列各题1（本大题共2小题，总计13分）1、（本小题5分）设晒谷场宽为X,则长为512米，新砌石条围沿的总长为 xc 5122x x2当 x102430x(x 0)唯一驻点x 16即x 16为极小值点故晒谷场宽为16米，长为旦21632米时，可使新砌石条围沿所用材料最省2、（本小题8分）2解：-23x c 2,8x82(2x3x1
7、0,x14.dx0(7664)dx(本大题10分)证明：)在(,)连续,可导，从而在0,3;连续，可导.又f(0)f(1)f(2) f (3) 0则分别在0,1,1,2,2,3上对f (x)应用罗尔定理得，至少存在i (0,1), 2(1,2), 3 (2,3)使f ( 1) f ( 2) f ( 3) 0即f (x) 0至少有三个实根，又f (x) 0,是三次方程，它至多有三个实根, 由上述f (x)有且仅有三个实根高等数学(上)试题及答案一、填空题(每小题 3分，本题共15分)21、lim(1 3x)x .0xe x 02、当k时，f(x) o在x 0处连续.x2 k x 03、,dxIn
8、 x,则dy4、曲线yexx在点(0, 1)处的切线方程是 5、若 f(x)dx sin 2x C, C 为常数，则 f (x)单项选择题(每小题3分，本题共15分)1、若函数f (x)则 lim f (x)x 0A、0B、1 C、1D、不存在2、下列变量中，是无穷小量的为()x 2 /D. x 2),1 ,A. In (x 0 ) B. In x(x 1) C. cosx (x 0) x3、满足方程f (x) 0的x是函数y *)的().A .极大值点 B .极小值点C .驻点4、下列无穷积分收敛的是()A、 sin xdxB、02x ,e dxC、0 ；dxD、-Xdx0 、x5、设空间三
9、点的坐标分别为M (1, 1, 1)、A(2, 2, 1)、B (2, 1, 2)。则 AMB =A、B、C、D、三、计算题(每小题7分，本题共56分)1、求极限lim 4 x 2x 0 sin 2x2、求极限11lim ()x 0 x e 13、求极限cosxe t dtlim -2x 0 x4、ln(xJi x2)，求 y5、y(x)由已知2 x ln(1 t2) y arctantd2y dx26、求不定积分2sin( 3)dxx7、求不定积分ex cosxdx8、设 f(x)111120 f(x 1)dx四、应用题(本题7分)求曲线2_y2所围成图形的面积 A以及A饶y轴旋转所产生的旋
10、转体的体积。五、证明题(本题7分),1若f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f (0) f (1) 0, f (-) 1,证明:在(0,1)内至少有一点，使f ( ) 1。参考答案。填空题(每小题 3分，本题共15分)61、 e 2、 k =1 .3、4、y 1 5、f (x) 2cos2x二.单项选择题（每小题3分，本题共15分)1、 D2、 B 3、 C4、B5、A.计算题（本题共 56分，每小题7分)1.解:lim厂X2x 0 sin 2xlimX 0sin2x( 4X 2)-lim2x2 x 0 sin2x( 4x2)2.解:lim(10-)1X.e lim 0 x(e1x-
11、1)limX 0Xe 1.x lim 1 xex 0 eX Xe xe 2cosx3、解:lime12Xt2 dtlimX 0sin xe2x2cos X12e4、解:6、解:7、解:8、解:(1V-2)1 X1,1 X2d2y dx2dydx11 t22t12tsin(- x3)dX20f(x1t24t3ex cos xdx2212sin(-3)d(-3)cos(3)32cosxdeXCOSXeXsinXdXXe cosxsin XdeXCOSXX . e sin xex cos xdxex (sin x cosx) C11)dx 1 f (x)dx01 f(x)dx10f (x)dx -1
12、1dxX e1 dx01 xx0 ei1(1 -x)dx ln(1 x) 011 e1 ln(1ex)1011n21 1n(1 e 1) 1n(1 e)四. 应用题（本题7分）22斛：曲线y x与x y的交点为（1, 1）,于是曲线yy2所围成图形的面积 A为222(0,%)(0,1),使 F ( ) f ( ) 1 0,即 f ()2,1x )dx x2 x 033251Qyy 325 0 10A绕y轴旋转所产生的旋转体的体积为:1V (-, y)2 y4dy0五、证明题（本题 7分）证明：设 F (x) f (x) x ,1 1显然F(x)在,1上连续 在(一,1)内可导2 2一一11 八且F(-) - 0, F(1)1 0.221 -
