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1、2011版初中数学人教版垂径定理教学设计彭阳县城阳乡初级中学 李步刚联系电话：18152588089 邮编：756502一、 教学内容解析本节课是在学习了解了圆的一些相关概念的基础上利用圆的轴对称性探索垂径定理及其逆定理，然后根据对称图形的性质和推理证明的方法进行证明。通过本节课的学习，学生能通过折叠，体会圆的对称性，理解并掌握垂直于弦的直径的性质，经历感受圆的对称性在实际生活中的实用价值，增强学生应用数学和意识，发展为学生的思维能力。对垂径定理及其推论的学习，为下一节学习弧、弦、圆心角以及有关弦的计算和证明题有着非常重要的作用。二、教学目标设置 知识和能力1.探索圆的对称性，进而得到垂直于弦
2、的直径所具有的性质。2.能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题。过程和方法1.在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程。2.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神。情感态度价值观使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。教学重点垂直于弦的直径所具有的性质以及证明。教学难点利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。教学准备教师多媒体课件学生 纸、剪刀三、学生学情分析对于九年级学生而言，其实他们在第一、二学段已积累了一些对圆的认识，甚至也了解了
3、圆的一些性质，也学过其它几何图形，经历过探究其它图形的学习过程，所以相对而言学习了解圆就有了一定的经验和能力，但是由于目前农村中学优生流失较为严重，大部分是中下游的学生，他们分折和探究问题的水平很低，因此在分折概括，推理论证垂径定理时是有一定困难的。四、教学策略分析以学生现有的经验知识为基础引入新课，让学生先观察几组以前尝过的对称图形，并了解它们的性质，然后让学生动手折叠圆，并观察得出圆的性质轴对称性，再从圆是轴对称图形入手，根据轴对称图形的性质得出对称轴垂直平分对称点的连线，相对应的部分一定重合，即“垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧”，这里尽量再结合课件的演示，让学生在观察、探究、交流的
4、过程中体会知识的形成。五、教学过程（一）复习旧知问题情境，激发学生兴趣师：观察下列几个图形，它们有何共同点？等腰梯形长方形等腰三角形用什么方法可以判断图形是轴对称图形？（引导出折叠的方法）（二）新课引入活动1：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（课件：探究圆的性质）学生活动设计：学生动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴教师活动设计：在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性（三）问题引申，探究垂直于弦的直径的性质活动2：按下
5、面的步骤做一做：第一步，在一张纸上任意画一个O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；第二步，得到一条折痕CD；第三步，在O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足；第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图1 图1 图2在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么？(课件：探究垂径定理) 学生活动设计：如图2所示，连接OA、OB，得到等腰OAB，即OAOB因CDAB，故OAM与OBM都是直角三角形，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AMBM又O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对
6、折时，点A与点B重合，与 重合因此AM=BM，=，同理得到=教师活动设计：在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质及其推论：（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧活动3：老师用课件出示例2：1400多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧中点到弦的距离，也叫弓形的高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米） 老师介绍赵州石拱桥让学生了解赵州石拱桥的背景，激发学生的求知欲望，当学生对这座桥产生好奇时，教师启发学生：“我们如何来求出这座桥的半
7、径呢”？学生分小组进行讨论交流：“我们知道这是一座石拱桥，我们可以把桥拱抽象成一个几何图形，就是一个圆弧形”先让学生试画图然后老师出示课件图3.如图3，所在圆的圆心是点O，过O作OCAB于点D，若CD=4 m，弦AB=16 m，求此圆的半径学生活动设计：学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现若OCAB，则有AD=BD，且ADO是直角三角形，在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程教师活动设计：在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳：弦长、半径、拱形高、弦心距（圆心到弦的距离）四个量中，只需要知道两个量，其余两个量就可以求出来解答设圆的半径为R，由条件得到OD=R4，AD=8，在
8、RtADO中，即解得R10（m）答：此圆的半径是10 m活动4：如图4，已知，请你利用尺规作图的方法作出的中点，说出你的作法师生活动设计：根据基本尺规作图可以发现不能直接作出弧的中点，但是利用垂径定理只需要作出弧所对的弦的垂直平分线，垂直平分线与弧的交点就是弧的中点（解答）1.连接AB；2作AB的中垂线，交于点C，点C就是所求的点（四）拓展创新，培养学生思维的灵活性以及创新意识活动5 解决下列问题固原市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道如图7所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道? 图7 图8师生活动设计：让学生在探
9、究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理的基本结构图，进而发展学生的思维（解答） 如图8所示，连接OA，过O作OEAB，垂足为E，交圆于F，则令O的半径为R， 则,在中，即,解得R =50 cm 修理人员应准备内径为100 cm的管道小结：垂直于弦的直径的性质，圆对称性作业设计必做题： 习题241 第1题，第8题，第9题课外练习题： 如图5，某条河上有一座圆弧形拱桥ACB，桥下面水面宽度AB为72米，桥的最高处点C离水面的高度24米现在有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问：这艘船是否能够通过这座拱桥？说明理由图5 图6引导学生分折题意，然后采取一定的策略来说明能否通过这座拱桥，这时要采取一定的比较量，才能说明能否通过，比如，计算一下在上述条件下，在宽度为3米的情况下的高度与2米作比较，若大于2米说明不能经过，否则就可以经过这座拱桥解答如图6，连接AO、GO、CO，由于弧的最高点C是弧AB的中点，所以得到OCAB，OCGF，根据勾股定理容易计算OE=15米，OM=36米所以ME=21米，因此可以通过这座拱桥
