《第06讲应变的坐标变换与应变张量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第06讲应变的坐标变换与应变张量（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.3 应变的坐标变换与应变张量学习思路:与应力状态分析相同，一点的应变分量在不同坐标系下的描述是不相同 的，因此讨论应变状态，就必须建立坐标变换，就是坐标转动时的应变分量变换 关系。本节通过新坐标系与旧坐标系之间的位移变换关系式，根据几何方程， 通过复合函数的微分，就可以得到应变分量的转轴公式。转轴公式表明应变张量也是二阶对称张量。根据转轴公式，一点的六个独立的应变分量一旦确定，则任意坐标系下 的应变分量均可确定，即应变状态完全确定。应变状态分析表明：坐标变换后各个应变分量均发生改变，但是作为一 个整体，一点的应变状态是不会改变的。学习要点：1. 坐标变换； 2. 应变分量坐标转轴公式； 3
2、. 应变张量。应变可以描述一点的变形，即对微分平行六面体单元棱边的伸长以及棱边之 间夹角的改变做出定义。但是这还不足以完全描述弹性体的变形，原因是应变分 析仅仅讨论了棱边伸长和夹角变化，而没有考虑微分单元体位置的改变，即单元 体的刚体转动。通过分析弹性体内无限邻近两点的位置变化，则可得出刚体的转动位移 与纯变形位移之间的关系。设P点无限邻近O点，P点及其附近区域绕O作刚性转动，转过微小角度。设转动矢量为0P之间的距离矢量为，如图所示。协=亦+J+必 p = xi+ yj+ zk引入拉普拉斯算符矢量设p点的位移矢量为u,有U =ui +uj +uk由于位移矢量可以表示为u =xp ,所以即其中，
3、为转动分量，是坐标的函数，表示了弹性体内微分单元体的刚性转动。x y z设M点的坐标为（x, y，z），位移（u，v，w）。与M点邻近的N点，坐标为（x+dx, y+dy， z+dz）， 位移为（ u+du， v+dv，w+dw）。则MN两点的相对位移为（du, dv, dw）。因为位移为坐标的函数，所 以- du 1 du 1 du .du 二 dx + dy + az dx dy dzdu 11 .dvdu.*1du.f 1 du.1 .5u1=dx + (+ )ay + )az(-)ay -(-)dzdx2 dxdy 2dz 2dx dy 2 dzdx二屯dx + 占打如+ 头dz-吆如
4、+&dz同理可得dv = dy+|/dx + |/dz-dz + dxdx 沁+ ” + ”3 一叽 + 认以上位移增量公式中，前三项为产生变形的纯变形位移，后两项是某点 邻近区域的材料绕该点像刚体一样转动的刚性转动位移。刚性转动位移的物理意义为， 如果弹性体中某点及邻近区域没有变形， 则与某点无限邻近这一点的位移，根据刚体动力学可知，是由两部分组成。分别 是随这点的平动位移和绕这点的转动位移。对于弹性体中某一点，一般还要发生 变形，因此位移中还包括纯变形位移。总得来讲，与M点无限邻近的N点的位移由三部分组成的:1 随同 M 点作平动位移。2 绕 M 点作刚性转动在 N 点产生的位移。3.由于
5、M点及其邻近区域的变形在N点引起的位移。转动分量,，对于微分单元体，描述的是刚性转动，但其对于x yz整个弹性体来讲，仍属于变形的一部分。三个转动分量和六个应变分量合在一起，不仅确定了微分单元体形状的变化，而且确定了方位的变化。位移增量公式如果使用矩阵形式表示，可得显然，位移的增量是由两部分组成的，一部分是转动分量引起的刚体转动位移，另 部分是应变分量引起的变形位移增量。3.4 主应变和应变不变量学习思路:应变状态分析需要确定一点的最大正应变及其方位，就是确定主应变和 主平面。对于任意一点，至少有三个垂直方向，在该方向仅有正应变而切应变为 零。具有该性质的方向，称为应变主轴或应变主方向，该方向
6、的正应变称为主应 变。本节根据位移增量与应变分量以及主应变的关系，推导求解主应变及其 方向余弦的齐次方程组。根据齐次方程组非零解的条件，可以确定关于求解主应 力的应变状态 特征方程。根据特征方程，可以确定三个主应变。如果将主应变回代齐次方程组， 并且注意到任意截面的三个方向余弦的平方和等于 1，则可解应变主轴的方向余 弦。根据特征方程和应变不变量可知，主应变和应变主轴的特性与主应力和 应力主轴是类似的。学习要点：1. 位移微分表达式； 2. 主应变齐次方程组； 3. 主应变特征方程与不变量。弹性体内任一点的六个应变分量，即应变张量随着坐标轴的旋转而改变。因此是否可以像应 力张量一样，对于某一个
7、确定点，在某个坐标系下所有的切应变分量都为零，仅有正应变分 量不等于零。即能否找到三个相互垂直的方向，在这三个方向上的微分线段在物体变形后只 是各自改变长度，而其夹角仍为直角。 答案是肯定的。在任何应变状态下，至少可以找到三个这样的垂直方向，在该方向仅有 正应变而切应变为零。具有该性质的方向，称为应变主轴或应变主方向，该方向的应变称为主 应变。设J为物体内某点在已知坐标系的应变张量，求其主应变S , , 及应变 主轴方向n , n , n。设MN为M点的主轴之一，其变形前的方向余弦为1，m， n,主应变为。令3dp表示MN的长度，则MN相对伸长为 dp，如图所示。du-盍更柚设M点的位移为（u
8、，v，w），则N点的位移为（u+du，v+dv，w+dw）。因为du=在x方向的变形位移分量+刚性转动位移在x方向的分量=s l dp +刚性转动位移在x方向的分量根据公式即 du 等于纯变形位移与刚性转动位移在 x 方向的分量之和。根据上述公式，可得或者写作同理可得上述公式是关于l, m, n的齐次线性方程组。对于 l， m， n 的齐次线性方程组，其非零解的条件为其系数行列式的值为零。即将上式展开,可得主应变特征方程,F -适2 + J声-= 0其中J1二耳二耳+ 5 +耳厶二e灼+弓a +耳耳一扌（？爲+/i+/i）鼻=忖显然与应力不变量相同，J, J2, J3为应变不变量，分别称为第一，第二 和第三应变不变量。根据特征方程，可以求解得到三个主应变。将求解后的主应变代入公式， 并注意到任意一点三个方向余弦的平方和等于 1，则可解应变主轴的方向余弦。由应力张量和应变张量，应力不变量和应变不变量之间的公式的比较可知，主应变和应变主轴的特性与主应力和应力主轴是类似的。
