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1、最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料数学必修5(人教A版)一、本章概述不等关系是中学数学中最基本、最广泛、最普遍的关系不等关系起源于实数的性质，产生了实数的大小关系、简单不等式、不等式的基本性质，如果赋予不等式中变量以特定的值、特定的关系，又产生了重要不等式、基本不等式等不等式是永恒的吗？显然不是，由此又产生了解不等式与证明不等式两个极为重要的问题解不等式即寻求不等式成立时变量应满足的范围或条件，不同类型的不等式又有不同的解法不等式证明则是推理性问题或探索性问题推理性即在特定条件下，阐述论证过程，揭示内在规律，基本方法有比较法、综合法、分析法；探索性问题大多是与自然数n有关的证明问题，常采
2、用观察归纳猜想证明的思路，以数学归纳法完成证明另外，不等式的证明方法还有换元法、放缩法、反证法、构造法等不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程不等式的知识渗透在数学中的各个分支，相互之间有着千丝万缕的联系，因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其他问题，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，以及三角、数列、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，这些问题无一不与不等式有着密切的联系不等式还可以解决现实世界中反映出来的数学问题，许多问题最终归结为不等式的求解或证明解决这类综合问题的一般思维方法是：引参，建立不等关系，解某一主元的
3、不等式(实为分离变元)，适时活用基本不等式其中建立不等关系的常用途径是：根据题设条件；判别式法；基本不等式法；依据某些变量(如sin x，cos x)的有界性等不等式的应用体现了一定的综合性、灵活多样性这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值利用不等式解应用题的基本步骤：审题；建立不等式模型；解决数学问题；作答本章中，不等式的证明是难点，解不等式是重点，含参数的不等式综合题是高考命题的热点掌握不等式的意义和实数的符号法则，是分散难点和解决难点的关键如能熟悉不等式的性质，认清基本不等式的特点，灵活运用比较、分析、综合等基本方法，认真进行思考和探索，
4、是不难找到解题途径的要善于进行转化变形，即化无理为有理、化分式为整式、化高次为低次、化绝对值为非绝对值等等，以突破解证不等式这一难关通过本章的学习达到以下基本目标：1会用不等式(组)表示不等关系；2熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小；3会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；4会作二元一次不等式(组)表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；5明确基本不等式及其成立条件，会灵活应用基本不等式证明或求解最值二、主干知识1不等式与不等关系不等式的性质刻画了在一定条件下两个量的不等关系不等式的性质包括“单向性”和“双向性”单向性主要用
5、于证明不等式，双向性是解不等式的基础因为解不等式要求的是同解变形要正确理解不等式的性质，必须先弄清每一性质的条件和结论、注意条件和结论的放宽和加强，以及条件与结论之间的相互联系双向性主要有：(1)不等式的基本性质：这是比较两个实数的大小的依据；(2)ab bb acbc.单向性主要有：(1)ab，bcac；(2)ab，cdacbd；(3)ab，c0(c bc(acb0，cd0acbd；(5)ab0,0cb0，mN*ambm；(7)ab0，nN*，n1.特别提醒：(1)同向不等式可以相加，异向不等式可以相减即：若ab，cd，则acbd；若ab，cd，则acbd.但异向不等式不可以相加，同向不等式
6、不可以相减(2)左右同正不等式，同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘即：若ab0，cd0，则acbd；若ab0,0cd，则.(3)左右同正不等式，两边可以同时乘方或开方即：若ab0，nN*，n1，则anbn或.(4)若ab0，ab，则；若ab0，ab，则.如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论2一元二次不等式及其解法解一元二次不等式常用数形结合法，基本步骤如下：将一元二次不等式化成ax2bxc0的形式，计算判别式并求出相应的一元二次方程的实数解，画出相应的二次函数的图象，根据图象和不等式的方向写出一元二次不等式的解集设相
7、应二次函数的图象开口向上，并与x轴相交，则有口诀：大于取两边，小于取中间解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”要注意对字母参数的讨论，如果遇到下述情况则一般需要讨论：(1)在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要分析)，比较两个根的大小，设根为x1，x2，要分x1x2、x1x2、x1x2讨论(2)不等式两端乘或除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正负(3)求解过程中，需用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”若按参数讨论，最后应按参数
8、取值分别说明其解集；若按未知数讨论，最后应求并集一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0(a0)的解集：设相应的一元二次方程ax2bxc0(a0)的两根为x1、x2且x1x2，b24ac，则不等式的解的各种情况如下表所示：二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集0有两相异实根x1，x2(x1x2)x|xx2x|x1xx20有两相等实根x1x2x|x0无实根R特别提醒：(1)解题中要充分利用一元二次不等式的解集是实数集R和空集的几何意义，准确把握一元二次不等式的解集与相应一元二次方程的根及二次函数图象之
9、间的内在联系(2)解不等式的关键在于保证变形转化的等价性简单分式不等式可化为整式不等式求解：先通过移项、通分等变形手段将原不等式化为右边为0的形式，然后通过符号法则转化为整式不等式求解转化为求不等式组的解时，应注意区别“且”、“或”，涉及最后几个不等式的解集是“交”，还是“并”注意：不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值(3)在解决实际问题时，先要从实际问题中抽象出数学模型，并寻找出该数学模型中已知量与未知量，再建立数学关系式，然后用适当的方法解决问题(4)解含参数的不等式是高中数学中的一类较为重要的题型，解决这类问题的难点在于对参数进行恰当分类分类相当于增加了题
10、设条件，便于将问题分而治之在解题过程中，经常会出现分类难以入手或者分类不完全的现象强化分类意识，选择恰当的解题切入点，掌握一些基本的分类方法，善于借助直观图形找出分类的界值是解决此类问题的关键3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(1)确定二元一次不等式表示的区域的步骤：在平面直角坐标系中作出直线AxByC0；在直线的一侧任取一点P(x0，y0)，当C0时，常把原点作为特殊点；将P(x0，y0)代入AxByC求值：若Ax0By0C0，则包含点P的半平面为不等式AxByC0所表示的平面区域，不包含点P的半平面为不等式AxByC0所表示的平面区域也可采用：把二元一次不等式改写成ykxb或ykx
11、b的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域(2)线性规划的有关概念：满足关于x，y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件；关于变量x，y的解析式叫目标函数，关于变量x，y一次式的目标函数叫线性目标函数；求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解(3)解简单线性规划问题的基本步骤：根据实际问题的约束条件列出不等式；作出可行域，写出目标函数；确定目标函数的最优位置，从而获得最优解具体来讲有以下5步：a画图：画出线性约束条件所表示的平面区
12、域即可行域；b定线：令z0，得一过原点的直线；c平移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；d求最优解：通过解方程组求出最优解；e求最值：求出线性目标函数的最大或最小值特别提醒：(1)画不等式AxByC0所表示的平面区域时，区域包括边界线，因此，将边界直线画成实线；无等号时区域不包括边界线，用虚线表示不包含直线l.(2)AxByC0表示在直线AxByC0(B0)的上方，AxByC0表示在直线AxByC0(B0)的下方(3)设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l：AxByC0，若Ax1By1C与Ax2By2C同号，则P，Q在直线l
13、的同侧，异号则在直线l的异侧(4)在求解线性规划问题时要注意：将目标函数改成斜截式方程；寻找最优解时注意作图规范4基本不等式.(1)基本不等式：设a，b是任意两个正数，那么.当且仅当ab时，等号成立基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数如果把看做是正数a，b的等差中项，看做是正数a，b的等比中项，那么基本不等式也可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”(2)对基本不等式的理解：基本不等式的左式为和结构，右式为积的形式，该不等式表明两正数a，b的和与两正数a，b的积之间的大小关系，运用该不等式可作和与积之间的不等变换“当且仅
14、当ab时，等号成立”的含义：a当ab时等号成立的含意是：ab；b仅当ab时等号成立的含意是：ab；综合起来，其含意是：ab.(3)设a，bR，不等式a2b22ababab2.(4)基本不等式的几种变式：设a0，b0，则a2，2，2ab. (5)常用的几个不等式： (根据目标不等式左右的运算结构选用)；设a，b，cR，则a2b2c2abbcca(当且仅当abc时，取等号)；真分数的性质：若ab0，m0，则(糖水的浓度问题)特别提醒：(1)用基本不等式求函数的最值时，要特别注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针常用的方法为：拆、凑、平方(2)用基本不等式证明不等式时，应重视对所证不等式的分析和化归，应观察不等式左右两边的结构，注意识别轮换对称式，此时可先证一部分，其他同理可证，然后再累加或累乘题型1恒成立问题(1)若不等式f(x)A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)minA；
