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1、一题多联 巧妙变式 -一次函数与反比例函数的综合应用课例背景与经过：为了更好地推进学科教学研究类课题的实施，引导教师聚焦课堂真实问题，使课题研究真正为改革教学方法和提高课堂效率服务，今年的优质课评比活动把主题定在了一题一课上。以说题为前奏，开展教学教研活动。这是有效提高学生学习成绩的一种好方法，更是促进教师专业发展的一个好途径。相对于“说课”，“说题”还属于一个新鲜的事物。“说课”已经形成了一个基本模式，但是“说题”怎么说，还是一个正在探索的问题。而紧随其后的“一题一课”教学方式，其实很多专家和一线教师都已在尝试中进行。如何让“一题一课”的模式焕发内在的魅力，使有效性教学回归数学课堂？这是我们
2、接下来需要认真思考研究的问题。在磨课过程中我们充分关注对题型的挖掘与深化，从基本题型出发，多角度探究解题思路，通过开放性提问对结论进行拓展，在逐步的变式中探讨研究解题的一般方法。下面我结合参赛的课题一次函数与反比例函数的综合应用的磨课过程，来谈一谈我们是如何进行一题多联，巧妙变式，在一题一课中进行思想与方法的渗透。第一次磨课教学实录开门见山，直接导入题型展示：今天我们来交流下学习心得，经常听学生说，在做中考模拟卷选择的最后几题时，因找不到解题的切入点而失分，我们班同学是否有同样的困扰？那么今天我们就一起来探究这个问题。看题，说说你的想法。生1:本题由四部分构成：直线，双曲线，X轴上的垂线，等腰
3、三角形。板书：例谈图形分解法在一次函数与反比例函数中的应用师：那么让我们从图形构造入手，探究本题的解题策略。演示课件： 首先在坐标系内画上直线引导学生观察，可知什么？生2：根据一次函数与坐标轴交点特征，可求得点B。 引入反比例函数图象，可知A吗？生3：不能马上得出，但可根据直线解析式设A(a, a-1)。 作CBX轴，可得C吗？生4：可得点C横坐标。 由AB=AC，你想到什么？生5：等腰三角形的三线合一，根据，得C(2，a-2)。因为点A、C同时也在反比例函数图象上，则k= a（a-1)= 2（a-2)可求得K=4。 生6：我先设C(2，)，由等腰三角形的三线合一结合反比例函数解析式，得A（4
4、，），把点A代入一次函数解析式可得K.师：这位同学的设法在求解上更快，那么除了设点的坐标，还有其他的解题方向吗？学生思考中师：能否从图形特点上来观察，本题中除了等腰三角形外还有其他三角形吗？生7：由BOEABF，得,设AF=a,则BF=2a，点A坐标为（2+2a，a）,点C的坐标为（2，2a）,则k=4a=（2+2a）a，则k=4师：利用相似，这个解题思路很好，还有用不同方法来做的吗？（没有学生响应）继续引导：反比例函数还有什么特殊的性质？生（全体）：面积不变性。师：面积不变性在图形里是如何体现的？生（小声的）：可以构造长方形（三角形）。生8：我经过点A,C构造了两个三角形，得到，但是不知道怎
5、么用。师: 如何利用两个三角形的面积，找到与坐标的联系呢？这样的引导似乎还是不起作用，学生比较习惯于设点的坐标来求解，很少会往面积不变性这个角度来思考问题，所以继续引导。师：我们可以从面积角度出发来思考，三角形面积等于底边乘以高，那么，对比观察它们的底边和高，有什么联系吗？生9：师：观察的真仔细，刚才我们从代数和几何角度探讨了这道题的不同解法，那么对于这个问题，你还能提出什么新的问题?学生有那么片刻的停顿，所以我让大家先互相讨论一下。生10：1.经过A,C两点画直线，求直线AC的函数解析式？生11：2.求ABC的面积？生12：3.求CE的长度？生13：4.在y轴上找一点P，使四边形EBCP为平
6、行四边形。生14：5.在双曲线上找一点P，使ABP与BOE相似？生15：6.双曲线上是否还存在点与A、B两点构成等腰三角形？师：那么让我们一起来解决这些问题，挑你会的尝试求解？（第五个问题解法繁琐，留给学生课后思考）生15：问题一：根据原题所得A、C两点坐标，利用两点法求一次函数解析式。生16：问题二：以BC为底，作高AD，利用三角形的面积公式可求得面积为2.师：这样似乎简单了些，中考比较喜欢求不规则图形的面积，那么稍微改编一下：连OC，求四边形OBAC的面积，能求解吗、。生17：以BC为底分割为两个三角形，求面积和，两条高之和的长度刚好是点A的横坐标。师：还有其他方法吗？-没反应，继续引导：
7、利用面积差能求吗？生18：在四边形四周构建一个长方形，利用长方形的面积减去三个小三角形的面积。生19：问题三：以CE为斜边，构造直角三角形，利用勾股定理求解CE=.生20：问题四：根据平行四边形的对边相等，所以PE=BC=2，可求得P（0,1）。生21：问题六：会出现多种可能,分类讨论：AB=AC,AB=BC,AC=BC.ABCyxOC1ABCyxOC4ABCyxOC3ABCyxOC2师：那么我们是否还可对题中条件进行适当改编，比如等腰三角形还可换个背景生：换成等边三角形或直角三角形。师：那么我们一起来尝试一下。变式：弱化条件变“等腰三角形”为“等边三角形”，求K值。（K=）因为等边三角形的特
8、殊性，还可弱化条件：变“”为“”（不直接给出比例系数）。生22：根据直线可先得到E点坐标（0，-1），由等边三角形可知，可得B点坐标（，0），代入一次函数解析式，求得，所以直线AB:.设点C，则A,代入一次函数解析式，可得。师：利用设点的坐标来求解，那么有同学利用其他方法吗？-时间不多，学生中有个别说利用相似的。请同学们类比刚才求解等腰三角形的方法，课后再试试其他方法是否可行。谈谈你的收获-师:这节课我们从图形的变化探究到题目的变式，希望同学们学会在图形变换中探求解题的统一性。问题诊断：1、 直接展示题型，学生一开始就觉得解题困难，积极性受挫，参与度不高。2、 先展示原图后分解的方式，学生的主
9、体性呈现不高，显得被动。3、 事先没有足够的铺垫，学生还是按惯性思维，用设点的坐标来求解，很少数几个能从图形角度用相似的方法解题，而面积不变性的方法根本没去考虑。4、 学生在探求利用相似特别是面积不变性的解法时，思考时间比较长，做了大量引导，以致时间没分配好，变式拓展部分结束的比较匆忙。5、 之前的思维受阻，提问部分学生有些茫然，只提了一些类似题，没什么新意，积极性也没充分调动起来。6、 变式部分因为解法的归纳提升功夫没做足，学生在这里也没形成基本解题思路。评课意见：第一次试讲，听课的老师在评课中从各个角度也谈了自己的观点，首先肯定了本节课的优点：整体构思比较突出重点问题设计思路比较清晰，有自
10、己的特点，能够结合学生的实际加以引导。多媒体课件的应用与教学结合较紧密。同时，各位老师也指出了一些需要共同研讨的问题。归纳为以下几点：1、导入部分怎样设计。直接展示题型，或从分解图形引入，对大部分学生来说，入题太难，以至于学生后来的积极性都不高，参与度不够。所以重新设计导入部分，从点的坐标代入，构造长方形，观察两个长方形的边长关系，以及添加辅助线找全等三角形的方式，都预先作了铺垫，从简单变式入手，引导学生解题思路，激发学生的学习欲望，为精彩课堂做铺垫.2、解法探究的引导通过设点的坐标，学生基本上能很快求解此题。但作为一题一课多角度思考问题的要求，要适时引导学生，能否从图形上找方法。引导学生注意
11、力从代数角度转向几何角度思考问题，观察图形，找到相似的解法，以及面积相等的两个长方形它们的边长关系。最后对解题方法进行必要的归总，优化解题策略，思考如何找到解题切入点，从哪些角度思考，核心问题是什么？3、开放性问题的引入如何最大程度的激发学生探究问题的积极性，在独立思考的基础上，可组织学生分组讨论，集思广益，在合作交流中激活思维。教师要巡视观察学生的问题，从学生思维角度出发作好必要的引导，鼓励学生多角度发散思维，结合知识点提出各种创新性问题。4、变式拓展紧扣原题一题一课应围绕一个主题发散思考，一题多解，多题归一。如果在变式部分做大面积修改，那就偏离了主旨，所以以原题为基点，适当变化条件，从等腰
12、到等边再到直角三角形，符合学生的思维特点，也为学生今后的数学探究学习指引可行的方向。5、赏识学生因为公开课的特殊性，学生稍显拘谨，九年级的学生又不爱举手提问，所以这时教师的激励语言就显得非常重要，要及时给予学生积极地评价，用赞赏的眼光看待学生。第二次磨课时的教学设计 引言：同学们，今天我们要从一道简单的题出发来研究一次函数与反比例函数，看看经过这堂课的学习，会对我们有什么启发。一、分解图形、引出课题：AyxOMN问：(1)若在双曲线上任意一点构造长方形，你能马上说出它的面积吗？AyxOEB(2)若给出点A(4,a),C(?,2a),如何求得点C横坐标？ 点拨：从代数角度求解外，能否从图形上找特
13、点说明理由？ 小结：通过刚才的简单变式，我们发现反比例函数只有一个待定系数k，所以关键在于求得点A的坐标。【设计意图】简单问题入手，引导学生解题思路，激发学生的学习欲望，为精彩课堂做铺垫.二、构建图形、探究解题：题型展示：如图：直线与反比例函数的图像交于点A，与x轴相交于点B，过点B作x轴垂线交双曲线于点C，且AB=AC.则k的值（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 6课堂预设：解法一：设点的坐标1、设A(a, a-1)，根据，得C(2，a-2)。因为点A、C同时也在反比例函数图象上，则k=a（a-1)= 2（a-2)可求得K=4。2、设C(2，)，由等腰三角形的三线合一结合反比例函数解析
14、式，得A（4，），把点A代入一次函数解析式可得K=4.（引导：这个时候该利用什么函数求出y的值？）点评：通过设点的坐标，联立方程，用代数的方法解决几何的问题。3、设点A坐标为（x，y）则点C坐标为（2，2y），由k=xy得：xy=4y，x=4，y=，所以k=xy=4。【归纳】通过点的不同设法，体会反比例函数图像上的点的坐标乘积为定值是解决本题的切入点。引导：还有不同的解题方向吗？是否可以在图形上找方法？（比如说，这里除了等腰三角形，还有其他的三角形吗？它们之间是否有联系？）解法二：利用相似三角形的判定和性质由OBEDAB，得,设AF=a（隐含条件： ）,则BF=2a，点A坐标为（2+2a，a）
15、,点C的坐标为（2，2a）,则k=4a=（2+2a）a，则k=4【归纳】利用相似三角形判定和性质可以知道点A的横纵坐标之间的关系，再利用坐标乘积为定值，则可以求出y的值，要注意隐含条件：（）.ABCyxOFEGH解法三：利用反比例函数的面积不变性（构造长方形）【归纳】通过构造长方形，让学生观察边长关系，并建立线段与坐标的联系，得到A点坐标代入求解。 学生可能还会出现以下两个方向的解法，但方法难度大，或者求解困难，不特意作引导。解法四：利用反比例函数的面积不变性（构造三角形）【归纳】利用反比例函数的面积不变性构造三角形，此法涉及三角形面积的两个特例：同底不同高，面积之比为高之比；同高不同底，面积之比为底边之比，不容易观察。
