《野兔生长问题数学建模论文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《野兔生长问题数学建模论文（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课程设计报告课程设计题目：野兔生长问题精选文库目录 03 05 06 07 09 13- 2 -精选文库摘要假设野兔生长的条件是在无外界干扰的完美条件下 （即不考虑外界因素对野兔繁殖的影响） ，该种群的成长曲线应该为对数型增长。但依题意可知， 野兔增长先是成对数增长后来趋于平缓， 变化幅度不断降低，这说明野兔生长并不是处于理想的情况下的， 考虑到自然的各种原因，诸如，环境条件因为兔群激增而变得恶劣，天气的变化，天敌的增多等等。对于这种种群生态学问题，我们可以用 Logistic （逻辑斯蒂方程）模型来模拟。 Logistic 模型是种群生态学的核心理论之一，它可以很好的表示生物种群的生长规律，
2、 动态的表示生物种群的增减情况，例如兔子。由于野兔生长问题相对简单，其涉及的内容和有求也相对较少，并且该问题概过了种群在生态中生长问题。根据逻辑斯蒂方程， 以及建立一只双曲线右支可以预测出在T=10 时，野兔数量为10.8156 十万只。在此，我们结合过去九年野兔数量的历史数据， 建立了逻辑斯谛增长模型，得到野兔的生长规律如下：野兔初始于该地方生存时，野兔的生长繁殖有充分的保障，数量增多。随着野兔的不断繁殖，其有限生存空间日趋减小， 其数量趋向于某一极值。 而当野兔数量超过环境容纳量时 , 野兔种群的增长受到抑制，数量下降。当野兔种群数量降低到环境容纳量以下时 , 野兔种群的出生率上升，死亡率
3、下降，自然资源与食物资源较为充裕， 种内与种间竞争有所缓解， 从而野兔种- 3 -精选文库群增长加快。通过建立 Logistic 模型，我们小组得出当 T=10时，野兔数量为 10.8156（十万）只左右。该结果比较符合客观规律。利用 Logistic 模型可以表征种群的数量动态；如昆虫类种群的增长，收获与时间关系的确定。 描述某一研究对象的增长过程如生态旅游区环境容量的确定， 森林资源的管理以及耐用消费品社会拥有量的预测、国民生产总值的预测等； 也可作为其它复杂模型的理论基础如 Lotka-Volterra 两种群竞争模型；以上的大多数的工作都是拿逻辑斯蒂模型来用，但也由此可看出逻辑斯蒂方程
4、不管在自然科学领域还是在社会科学中都具有非常广泛的用途。关键字 : 分析数据异常现象预测 数量逻辑斯蒂方程模型- 4 -精选文库问题重述野兔生长问题：在某地区野兔的数量在连续十年的统计数量( 单位十万 ) 如下：T= T=1T=2T=3T=4T=5T=6T=7T=8T=9012.314.506.906.005.565.327.568.939.589698535685124958071019217分析该数据，得出野兔的生长规律。并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象，预测T=10 时野兔的数量。首先，野兔是生长在自然环境中的。自然很复杂，存在着许多影响种群发展的因素。我们知道，假如给野兔一个理想的
5、环境，野兔数量是呈对数增长的。现实情况中，种群一般是呈S 型增长的，从题中表格看出，野兔的数量并不是单一地增长，T=1,2.31969 ； T=3，6.90568 ；T=4，6.00512；T=5，5.56495，呈类 J 型增长，说明兔子数量不多受内外因素的因数影响不明显。第四年到第七年， 这三年野兔的数量不增反降呈类S 型增长，说明其间有影响野兔生长的因素存在。我们探讨了其中的因素：（ 1），兔子的内部矛盾，兔子之间因为食物的减少而引发争斗等。（ 2），自然环境的恶化， 比如说兔子的激增使粪便数量大大增加是环境变得恶劣，不在适合兔子的生存；再如气候反常，使野兔的产卵，交配受影响。- 5 -
6、精选文库（ 3），天敌的捕食，狼，狐狸等天敌大量地捕食使野兔生存受到威胁。（ 4），疾病的侵扰，野兔种群中，蔓延并流行疾病，必然使野兔存活率下降。（ 5），人类的影响，城市扩建，使其栖息地面积减少；捕杀。考虑到上述因素，野兔的生长就不能完全用一个Logistic 模型来模拟模型假设因为所学知识有限，所以我们做出以下假设以方便猜想：（ 1）, 假设它使处于自然的情况（没有人的作用） , 人类活动对其生存不产生影响。（ 2），假设各个环境因素对野兔生长的影响是互不影响的。 兔子种族内部生存空间足够多，不存在对生存空间需求问题。（ 3），假设兔子的内部因素对其生存率的影响不大。（ 4），假设野兔在各
7、年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各种措施维持这一结构；（ 5）假设野兔性别比接近 1：1，且采用措施维持这个比列。（6）假设母兔可以怀孕的年龄为 1 到 6 岁，最高年龄为 10 岁， 10 岁的死亡率为 100%，并且 6 到 10 岁的野兔个数成线性递减趋势。在以上条件成立的前提下， 用 Logistic模型来模拟野兔的增长情况。- 6 -精选文库建立模型对于生物模型，首先考虑的是logistic模型，考虑到logistic模型的增长曲线是单调的， 而题目所给的数据中有一段是下降的，这是反常的情况， 而正常情况应当是单调上升的。考虑到可能在这段时间内有使野兔减少的因素。 不能在
8、整个时间段进行拟合，我们应当在每个单调区间上进行拟合。第一单调增区间T=0T=1T=2T=312.319694.508536.90568第一单调减区间T=3T=4T=5T=66.905686.005125.564955.32807第二单调增区间T=6T=7T=8T=95.328077.561018.93929.5817我们把野兔生长情况分成了上表三个区间， 建立野兔生长的 logistic 模型。我们先假设在一个小的单位时间间隔内新出生的兔子百分比为b，类似的兔- 7 -精选文库子死亡率的百分比为 c 。换句话，新的兔子数 P(t+ t) 是原有兔子数 P(t) 加上在t时间内新增兔子数减去死
9、亡兔子数，即P(t+t)=P(t)+bP(t)t-cP(t)t这样我们把问题化归到如何确定 k 。一旦 k 被确定，通过已知数据，我们解这个微分方程，就可以得到一个野兔数量随时间变化的函数了p MerM (t t )P(t)rM (t t )M pp e这个模型就成为logistic模型。- 8 -精选文库模型求解对于 logistic连续模型，设微分方程为dxbx)ax(1x0 ,( x00,1 / b, x00)（1）dt， x(0)其中参数 a，b 需要通过拟合得到。（1）的解为x(t)11bbexp(at)x0.（2）设已知连续三年的数据 x(t1 ), x(t2 ), x(t3 )
10、，其中 t 3t 2t2t1 T 0 ，则由（2）得方程组b1exp(at1 )1bx1x0b1exp(at1aT )1bx2x0b1exp(at11b2aT )x0x3(3)这三个方程中有三个未知量a, b, x0 可以解出 a,b 如下 :将（3）中第一式代入第二、三式消去x0， 得1bexp( aT )1bx1x21bexp( 2aT)1bx1x3消去 a 后得 b 满足的方程1121bbbx1x3x2解得(4)(5)- 9 -精选文库(x2 ) 2x1 x3bx1 x22x1 x3 ) .(6)x2 ( x2 x3代入 (4)的第一式得 a满足的方程x3 ( x2x1 )lnx2 )x1 (
