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1、一道圆锥曲线题的解答与拓展望城区职业中等专业学校 陈学军各位评委大家好，我是来自望城区职业中等专业学校的陈学军，今天我要说题的题目是一个有关圆锥曲线的题目。对于本题，我将秉承“启发引导”、“授人以渔”的教学理念，我将从题目的来源背景、解题方法、延伸拓展、教学分析等四个方面谈谈我在课堂教学中对这道习题的处理与使用，请各位专家批评与指正。一、来源背景 这是湖南省2014年普通高等学校对口招生考试数学试卷的第20题，在对口招生数学试卷中圆锥曲线是一个热点，每年都会有一个大题。今年的这道题知识点涉及椭圆的方程、离心率、焦距、两直线垂直的判定等，考查学生数形结合思想、方程思想、化归与转化思想。大家知道一
2、题多解、一题多变是培养学生数学思维能力和解题能力的有效方法，对于本题通过提问引导发现不同的解题方法，然后再将题目分阶段拓展，鼓励学生自主探索其规律，不但能够训练学生解决此类题目的思维，而且还能培养学生的综合应用及探索化归能力。20（本小题满分10分）已知椭圆C： 的离心率为，焦距为（I）求C的方程；（II）设分别为C的左、右焦点，问：在C上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。二、解题方法（I）由已知和,得，故C的方程是（II）方法1：利用勾股定理设存在点M，使得， 则即 化简得（1）又点M在椭圆上 有（2）解方程组 得故有四个点，坐标分别是，。(说明：由于椭圆是轴
3、对称也是中心对称图形，以下解法以第一象限内的点为例。)评析：看到直角三角形，学生最先想到的可能就是勾股定理，这是初中阶段数学学习的重要内容之一，在解析几何中利用勾股定理计算量相对来说还是较大的。方法2：利用直线的斜率设存在点M，使得，则 得到 ，即 （余下同解法一）评析：利用两直线垂直的斜率性质可很快得到，这个学生也容易想到。方法3：利用向量法设存在点M，使得则，因为，所以，即 ，即 （余下同解法一）评析：利用向量的数量积也是一种很好的解好的解决问题的方法，这里的关键是学生不能将两向量弄错了。方法4：利用直角三角形相似的性质(即射影定理) 设存在点M，使得，过M作，交X轴于E，因与相似 得即
4、（ 余下同解法一）评析：利用相似三角形的性质学生可能难以想到，但这正是数与形的完美结合，在图形中找到所要的数量关系。 前面用四种不同的方法得方法5：构造圆由于所以以O为圆心c为半径的圆与椭圆有交点，为半径作圆，则椭圆C与圆O交点就是M，圆O的方程是，解方程组 得到点M的坐标。评析：构造圆这一种方法，学生最好理解，但能想到构造法先得对圆的有关性质有很深的理解，我最后问学生哪种方法你最容易掌握，都说是这一种。方法6：利用面积公式与椭圆的定义设存在点M，使得根据椭圆的定义有即又 故得 即评析：这里就利用了椭圆的定义，三角形的面积公式等知识，巧妙的求出了M点的纵坐标。三、延伸拓展变式1、已知椭圆C：
5、，设、分别为C的左、右焦点，问：在C上是否存在点M，使得，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。变式2、已知椭圆C： ，设、分别为C的左、右焦点，当点M在椭圆上时，求当最大时，点M的坐标。变式3、已知双曲线的方程为 设分别为双曲线的左、右焦点，问：在C上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。拓展1 已知椭圆C： ，设、分别为C的左、右焦点，讨论：满足什么条件时存在点M，使得，满足什么条件时不存在点M，使得,并说明理由。（时有四个交点，时有两个交点，时没有交点）拓展2已知椭圆C： 的两个焦点为、，M是椭圆上不同于长轴端点的任意一点，且，试用或及表示的面积。 解
6、：由椭圆的定义可知，设，则， 所以在中，由余弦定理有所以，所以故的面积利用这个结论解原题就十分简单了，。一个顶点在椭圆上另两个顶点为椭圆焦点的三角形称为焦点三角形，记住椭圆的焦点三角形面积公式对解题有帮助。 同样可得到双曲线焦点三角形的面积公式四、教学分析这是一道解析几何的综合题，可以在学习完椭圆后或综合复习时讲解。圆锥曲线这一章对于职高生而言是比较难的，要掌握的概念、公式、定理、性质本来就很多，还要灵活运用，而在解题时又要数形结合，找到数与形的最佳结合点，才能在解题时得心应手。而此题要用到两直线垂直的判断，两直线垂直的判定有很多种方法，如利用勾股定理、斜率、向量这些常规的方法，成绩好一点的学生应该能想到其中至少一种。我在讲这一道题时先让他们自己分析自己来做，发现他们大都是用斜率、向量这些通法来求，有一些同学做得很好。讲解的时候先引导，假设存在这样的点M，要求出点M的坐标，就有横坐标、纵坐标两个量要求，可以列一个方程组，利用点M在椭圆上可列一个方程，另一方程肯定只能用垂直的条件来列，这样同学们就有了基本的解题思路。 有讲得不对的地方请批评指正，谢谢各位评委。
