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1、 选修41几何证明选讲A第1讲相似三角形的判定及有关性质最新考纲了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理知 识 梳 理1平行截割定理(1)平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等(2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例2相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的判定定理两角对应相等的两个三角形相似两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似三边对应成比例的两个三角形相似(2)相似三
2、角形的性质定理相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方3直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项如图，在RtABC中，CD是斜边上的高，则有CD2ADBD，AC2ADAB，BC2BDAB. 诊 断 自 测1. 如图，已知abc，直线m，n分别与a，b，c交于点A，B，C和A，B，C，如果ABBC1，AB，则BC_.解析由平行线等分线段定理可直接得到答案答案2.如图，ABCAFE，EF8，且ABC与AFE的相似比是32，则BC等于_
3、解析ABCAFE，.又EF8，BC12.答案123. (20xx揭阳模拟)如图，BDAE，C90，AB4，BC2，AD3，则EC_.解析在RtADB中，DB，依题意得，ADBACE，可得EC2.答案24.如图，C90，A30，E是AB中点，DEAB于E，则ADE与ABC的相似比是_解析E为AB中点，即AEAB，在RtABC中，A30，ACAB，又RtAEDRtACB，相似比为.故ADE与ABC的相似比为1.答案15. (20xx湛江模拟)如图，在ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交于BC于F，则_.解析如图，过点D作DGAF，交BC于点G，易得FGGC，又在BDG中，BEDE，即E
4、F为BDG的中位线，故BFFG，因此.答案考点一平行截割定理的应用【例1】 如图，在ABC中，DEBC，EFCD，若BC3，DE2，DF1，则AB的长为_解析由，又DF1，故可解得AF2，AD3，又，AB.答案规律方法 利用平行截割定理解决问题，特别注意被平行线所截的直线，找准成比例的线段，得到相应的比例式，有时需要进行适当的变形，从而得到最终的结果【训练1】 如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB4，CD2.E，F分别为AD，BC上的点，且EF3，EFAB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为_解析如图，延长AD，BC交于一点O，作OHAB于点H.，得x2h1，得h1h2. S梯形ABFE
5、(34)h2h2， S梯形EFCD(23)h1h1，S梯形ABFES梯形EFCD75.答案75考点二相似三角形的判定及性质【例2】 如图，在RtABC中，ACB90，CDAB，E为AC的中点，ED、CB延长线交于一点F.求证：FD2FBFC.证明E是RtACD斜边中点，EDEA，A1，12，2A，FDCCDB2902，FBDACBA90A，FBDFDC，F是公共角，FBDFDC，FD2FBFC.规律方法 判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线
6、段相等【训练2】 (20xx陕西卷)如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知AC，PD2DA2，则PE_.解析PEBC，CPED，又CA，则有APED，又为公共角，所以PDEPEA，即PE2PDPA236，故PE. 答案考点三直角三角形射影定理及其应用【例3】 如图所示，AD、BE是ABC的两条高，DFAB，垂足为F，直线FD交BE于点G，交AC的延长线于H，求证：DF2GFHF.证明HBAC90，GBFBAC90，HGBF.AFHGFB90，AFHGFB.，AFBFGFHF.因为在RtABD中，FDAB，DF2AFBF，所以DF2GFHF.规律方法 (1)在
7、使用直角三角形射影定理时，要注意将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”(2)证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解决直角三角形问题时常用的方法【训练3】 如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于点D， AD4，sinACD，则CD_，BC_.解析在RtADC中，AD4，sinACD，得AC5，CD3，又由射影定理AC2ADAB，得AB.BDABAD4，由射影定理BC2BDAB，BC.答案3三角形相似与圆的交汇问题【典例】 如图所示，O和O相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交O于点E，证明：(1)ACBDADAB；(2)ACAE.审题视点 (1)根据
8、待证等式可将各边回归到ACB，DAB中，再证两三角形相似；(2)本问可先证明EADABD，再结合第(1)问结论得证证明(1)由AC与O相切于A，得CABADB，同理ACBDAB，所以ACBDAB.从而，即ACBDADAB.(2)由AD与O相切于A，得AEDBAD.又ADEBDA，得EADABD.从而，即AEBDADAB.综合(1)的结论知，ACAE.反思感悟1.易失分点：(1)证明本题第(2)问时，想不到证明EADABD，从而无法解答(2)证明本题第(2)问时，没有应用第(1)问的结论从而无法证明结论成立2防范措施：(1)证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否
9、相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换(2)在有多个结论的题目中，如果结论带有普遍性，已经证明的结论，可作为证明下一个结论成立的条件使用【自主体验】(20xx江苏卷)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC2OC.求证：AC2AD证明连接OD，因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以ADOACB90.又因为AA，所以RtADO RtACB.所以.又BC2OC2OD，故AC2AD.一、填空题1如图，BD，CE是ABC的高，BD，CE交于F，写出图中所有与ACE相似的三角形为_解析由RtACE与RtFCD和RtABD各共一个锐角，因而它们均相似，又易知BFEA，故Rt
10、ACERtFBE.答案FCD、FBE、ABD2.(20xx西安模拟)如图，在ABC中，M，N分别是AB，BC的中点，AN，CM交于点O，那么MON与AOC面积的比是_解析M，N分别是AB、BC中点，故MN綉AC，MONCOA，2.答案143.(20xx渭南模拟)如图，BD，AEBC，ACD90，且AB6，AC4，AD12，则AE_.解析由于ACDAEB90，BD，ABEADC，.又AC4，AD12，AB6，AE2.答案24.(20xx佛山质检)如图，在直角梯形ABCD中，DCAB，CBAB，ABADa，CD，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF_.解析连接DE和BD，依题知，EBDC，E
11、BDC，CBAB，EBCD为矩形，DEAB，又E是AB的中点，所以ABD为等腰三角形故ADDBa，E，F分别是AD，AB的中点，EFDBa.答案5已知圆的直径AB13，C为圆上一点，过C作CDAB于D(ADBD)，若CD6，则AD_.解析如图，连接AC，CB，AB是O的直径，ACB90.设ADx，CDAB于D，由射影定理得CD2ADDB，即62x(13x)，x213x360，解得x14，x29.ADBD，AD9.答案96(20xx广东卷)如图，在矩形ABCD中，AB，BC3，BEAC，垂足为E，则ED_.解析在RtABC中，BC3，AB，所以BAC60.因为BEAC，AB，所以AE，在EAD中
12、，EAD30，AD3，由余弦定理知，ED2AE2AD22AEADcosEAD923，故ED.答案7.(20xx茂名模拟)如图，已知ABEFCD，若AB4，CD12，则EF_.解析ABCDEF，4(BCBF)12BF，BC4BF，4，EF3.答案38.如图，在梯形ABCD中，ADBC，BD与AC相交于O，过O的直线分别交AB、CD于E、F，且EFBC，若AD12，BC20，则EF_.解析EFADBC，OADOCB，OAOCADBC1220，OAECAB，OEBCOACA1232，EF22015.答案159(20xx广东卷)如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足ABC30，过点A做圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA_.解析连接AO，AC，因为ABC30，所以CAP30，AOC60，AOC为等边三角形，则ACP120，APC30，ACP为等腰三角形，且ACCP1，PA21sin 60
