《新高考数学复习知识点讲解与练习3---导数的概念与导数的计算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新高考数学复习知识点讲解与练习3---导数的概念与导数的计算（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、新高考数学复习知识点讲解与练习导数的概念与导数的计算知识梳理1函数yf(x)在xx0处的导数(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)2函数yf(x)的导函数如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数yf(x)在开区间内的导函数记作f(x)或y.3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)
2、sin_xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0且a1)f(x)axln_af(x)ln xf(x)f(x)logax(a0，a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有：(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)5复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积1f(x0)与x0的值有关，不同的x0，其导数值一般也不同2f(x0)不一定为0，但f(x0)一定为0.3奇函数的导数是偶函数，偶函数的导
3、数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数4函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”诊断自测1判断下列说法的正误(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同()(2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点()(3)(2x)x2x1.()(4)若f(x)e2x，则f(x)e2x.()答案(1)(2)(3)(4)解析(1)f(x0)是函数f(x)在x0处的导数，(f(x0)是常数f(x0)的导数即(f(x0)0；(3)(2x)2xln 2；(4)(e2x)2e2x.2函数yxc
4、os xsin x的导数为()Axsin x Bxsin x Cxcos x Dxcos x答案B解析y(xcos x)(sin x)cos xxsin xcos xxsin x.3(2020全国卷)设函数f(x).若f(1)，则a_答案1解析f(x)，可得f(1)，即，解得a1.4(2019全国卷)曲线y3(x2x)ex在点(0，0)处的切线方程为_答案y3x解析y3(2x1)ex3(x2x)ex3ex(x23x1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率ke033，所以所求切线方程为y3x.5(2021南通一调)若曲线yxln x在x1与xt处的切线互相垂直，则正数t的值为_答案e2解析因为
5、yln x1，所以(ln 11)(ln t1)1，ln t2，te2.6(2021杭州四中仿真)已知函数f(x)x3axb的图象在点(1，f(1)处的切线方程为2xy50，则a_；b_答案13解析由题意得f(x)3x2a，则由切线方程得解得a1，b3.考点一导数的运算【例1】求下列函数的导数：(1)yx2sin x；(2)y；(3)yxsincos；(4)yln(2x5)解(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y.(3)yxsincosxsin(4x)xsin 4x，ysin 4xx4cos 4xsin 4x2xcos 4x.(4)令u2x5，yln
6、u.则y(ln u)u2，即y.感悟升华求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；(6)复合函数：由外向内，层层求导【训练1】分别求下列函数的导数：(1)yexln x；(2)yx；(3)yxsincos；(4)yln.解(1)y(ex)ln xex(ln x)exl
7、n xexex.(2)yx31，y3x2.(3)yxsin x，y1cos x.(4)ylnln(12x)，y(12x).考点二导数的几何意义角度1求切线的方程【例21】 (1)(2019全国卷)曲线y2sin xcos x在点(，1)处的切线方程为()Axy10 B2xy210C2xy210 Dxy10(2)已知曲线yx3上一点P，则过点P的切线方程为_答案(1)C(2)3x3y20或12x3y160解析(1)设yf(x)2sin xcos x，则f(x)2cos xsin x，f()2，曲线在点(，1)处的切线方程为y(1)2(x)，即2xy210.故选C.(2)设切点坐标为，由yx2，得
8、y|xx0x，即过点P的切线的斜率为x，又切线过点P，若x02，则x，解得x01，此时切线的斜率为1；若x02，则切线的斜率为4.故所求的切线方程是yx2或y4(x2)，即3x3y20或12x3y160.角度2求参数的值【例22】 (1)(2020嘉兴期末)设曲线y在点(1，2)处的切线与直线axbyc0垂直，则()A. B C3 D3(2)(2021苏州调研)已知直线ykx2与曲线yxln x相切，则实数k的值为_答案(1)B(2)1ln 2解析(1)由题可得y，所以曲线在点(1，2)处的切线的斜率为3.因为切线与直线axbyc0垂直，所以31，解得，故选B.(2)设切点为(m，mln m)
9、，y1ln x，y|xm1ln m，ymln m(1ln m)(xm)，即y(1ln m)xm，又ykx2，即k1ln 2.角度3公切线问题【例23】(一题多解)已知曲线yxln x在点(1，1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_答案8解析法一yxln x，y1，y|x12.曲线yxln x在点(1，1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.y2x1与曲线yax2(a2)x1相切，a0(当a0时曲线变为y2x1与已知直线平行)由消去y，得ax2ax20.由a28a0，解得a8.法二同法一得切线方程为y2x1.设y2x1与曲线yax2(a2)x1相切于点(x0，ax(a2)x01
10、)y2ax(a2)，y|xx02ax0(a2)由解得感悟升华(1)求切线方程的方法：求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上【训练2】 (1)(角度1)(2019天津卷)曲线ycos x在点(0，1)处的切线方程为_(2)(角度2)已知曲线f(x)ax3ln x在(1，f(1)处的切线的斜
11、率为2，则实数a的值是_(3)(角度3)(2020全国卷)若直线l与曲线y和圆x2y2都相切，则l的方程为()Ay2x1 By2xCyx1 Dyx答案(1)yx1(2)(3)D解析(1)ysin x，将x0代入，可得切线斜率为.所以切线方程为y1x，即yx1.(2)f(x)3ax2，则f(1)3a12，解得a.(3)易知直线l的斜率存在，设直线l的方程ykxb，则.设直线l与曲线y的切点坐标为(x0，)(x00)，则y|xx0x0k，kx0b，由可得b，将b，kx0代入得x01或x0(舍去)，所以kb，故直线l的方程yx.基础巩固题组一、选择题1(2020全国卷)函数f(x)x42x3的图象在
12、点(1，f(1)处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x1答案B解析f(1)121，切点坐标为(1，1)，又f(x)4x36x2，所以切线的斜率kf(1)4136122，切线方程为y12(x1)，即y2x1.故选B.2设曲线yeaxln(x1)在x0处的切线方程为2xy10，则a()A0 B1 C2 D3答案D解析yeaxln(x1)，yaeax，当x0时，ya1.曲线yeaxln(x1)在x0处的切线方程为2xy10，a12，即a3.故选D.3若曲线f(x)x3x3在点P处的切线平行于直线y2x1，则P点的坐标为()A(1，3) B(1，3)C(1，3)或(1，3) D(1，3)答案C解析f(x)3x21，令f(x)2，则3x212，解得x1或x1，P(1，3)或(1，3)，经检验点(1，3)，(1，3)均不在直线y2x1上，故选C.4已知f(x)的导函数为f(x)，若满足xf(x)f(x)x2x，且f(1)1，则f(x)的解析式可能是()Ax2xln xx Bx2xln xxCx2xln xx Dx22xln xx答案C解析由选项知f(x
