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1、导数与极值一知识梳理知识点一 函数的极值点和极值思考观察函数尹=Xx)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值.梳理 (1)极小值点与极小值若函数y=f(x)在点x=a的函数值fd)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f (a)=0, 而且在点x=a附近的左侧f (x)0.就把点a叫做函数y=fx)的极小值点， f(a)叫做函数y =f(x)的极小值.(2) 极大值点与极大值若函数y=fx)在点x=b的函数值fb)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f (b)=0, 而且在点x=b附近的左侧f (x)0,右侧f (x)0,在x0的右侧函数单调递减，即f (x)0, 那么fx0)是极大值; 如
2、果在x0附近的左侧函数单调递减，即f (x)0, 那么fx0)是极小值.(2) 求可导函数fx)的极值的步骤 确定函数的定义区间，求导数f (x)； 求方程f (x)=0的根； 列表； 利用f (x)与fx)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值. 知识点三1 极小值点与极小值(1) 特征：函数y=fx)在点x=a的函数值fa)比它在点x=a附近其他点的函数值者B小，并且 f (a) = 0.(2) 符号：在点x=a附近的左侧f (x)0.(3) 结论：点a叫做函数y=f(x)的极小值点，fa)叫做函数y=f(x)的极小值. 2极大值点与极大值(1) 特征：函数y=fx)在
3、点x = b的函数值fb)比它在点x=b附近其他点的函数值者B大，并且 f (b) = 0.(2) 符号：在点x=b附近的左侧f (x)0,右侧f (x)3，则一2aa2.当x变化时，f (x), fx)的变化情况如下表：x(g,2a)2a(2a, a2)a2(a2,+g)f (x)+0一0+fx)/极大值极小值/所以fx)在(一g,2a), (a2,+)上是增函数，在(一2a, a2)上是减函数，函数fx) 在x=2a处取得极大值f(2a),且f(2a) = 3ae-2a,函数fx)在x=a2处取得极小值fa 2)，且 f(a2)=(4 3a)ea2.2若 aa2.当x变化时，f (x),
4、fx)的变化情况如下表：x(g, a2)a2(a2, 2a)2a(2a,+g)f (x)+0一0+fx)/极大值极小值/所以fx)在(一g, a2), (2a,+g)上是增函数，在(a2,2a)上是减函数，函数fx) 在x=a2处取得极大值fa2，且夬a2)=(4 3a)ea-2，函数fx)在x=2a处取得极小 值 f2a),且 f2a) = 3ae2a.跟踪训练2已知函数f(x)=x-aln x(a R).当a=2时，求曲线尹=fx)在点A(l,夬1)处的切线方程；(2)求函数fx)的极值.考点 函数在某点处取得极值的条件题点 含参数求极值问题a解 函数夬x)的定义域为(0,+), f (x
5、)=lx2(1) 当 a=2 时，fx)=x21nx, f (x)= 1一(x0),x因而夬1)=1, f (1)= 1.所以曲线y=fx)在点A(1,夬1)处的切线方程为y 1 = (x 1),即 x+ y 2= 0.a x a(2) 由f (x)=1x=, x0,知xx 当aW0时，f (x)0,函数fx)为(0,+)上的增函数，函数fx)无极值； 当a0时，由f (x) = 0,解得x=a.又当 xW(0, a)时，f (x)0, 从而函数fx)在x=a处取得极小值，且极小值为f(a)=aaln a，无极大值.综上，当aW0时，函数fx)无极值；当a0时，函数fx)在x=a处取得极小值a
6、alna，无极大值.类型二 利用函数的极值求参数例3 (1)已知函数fx)的导数f (x)=a(x+1)(xa),若fx)在x=a处取到极大值，则a的取 值范围是()A. (8,1)B. (0,+)C(0,1)D(1,0)已知函数fx)=x3 + 3ax2+bx+a2在x= 1时有极值0,则a=, b=.考点 利用导数研究函数的极值题点 已知极值点求参数答案 (1)D (2)2 9解析(1)若 a 1,因为 f (x)=a(x+1)(xa),所以夬兀)在(一a, a)上单调递减，在(a,1)上单调递增，所以fx)在x=a处取得极小值，与题意不符；若一1a0,则fx)在(一1, a)上单调递减，
7、在(a,+s)上单调递增，与题意不符，故选D.(2)因为fx)在 x= 1 时有极值 0,且 f (x) = 3x2+6ax+b,f (1) = 0,C36a+b=0,所以即f 1) = 0,1 + 3ab+a2=0,a=l.a=2.当 a=l, b = 3 时，f (x)=3x2+6x+3 = 3(x+l)20, 所以fx)在R上为增函数，无极值，故舍去.当 a=2, b = 9 时，f (x)=3x2+12x+9 = 3(x+l)(x+3).当xW(3,1)时，fx)为减函数，当x(1,+)时，fx)为增函数，所以fx)在x= 1处取得极小值，因此a=2, b = 9.跟踪训练3设x= 1
8、与x=2是函数fx)=aln x+bx2+x的两个极值点.(1) 试确定常数 a 和 b 的值；(2) 判断x=1, x=2是函数fx)的极大值点还是极小值点，并说明理由. 考点 利用导数研究函数的极值题点 已知极值点求参数解(1).fx)=aln x+bx2+x,f (x)=_+2bx+1,xa.f (1)=f (2)=0, a+2b+1=0 且2+4b+1=0,21解得 a=3, b=6-21(2)由(1)可知 fx) =/n x6x2+x,且定义域是(0,+),（对=寻+1=（x13Y2）当 xW(0,1)时，f (x)0；当 x(2,+)时，f (x)0，解得 a1.(2) ：fX)=x(ln xax),:、f (x)=lnx2ax+1,且fx
