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1、2.3自相关函数以上介绍了随机过程的几种模型。实际中单凭对时间序列的观察很难确定其属于哪一种模型，而自相关函数和偏自相关函数是分析随机过程和识别模型的有力工具。1.自相关函数定义在给出自相关函数定义之前先介绍自协方差函数概念。由第一节知随机过程xt中的每一个元素xt, t = 1,2, 都是随机变量。对于平稳的随机过程，其期望为常数，用表示，即E(x t) = J t= 1,2,(2.25)随机过程的取值将以为中心上下变动。平稳随机过程的方差也是一个常量2 2 2Var(x t) = E (xt- E(xt) = E ( xt i) = ex , t= 1,2,(2.26)用来度量随机过程取值
2、对其均值的离散程度。相隔k期的两个随机变量 xt与xt - k的协方差即滞后k期的自协方差，定义为k = Cov (xt, x t - k ) = E( xt - J) (xt - k - J) (2.27)自协方差序列2, k = 0, 1,，称为随机过程xt的自协方差函数。当k = 0时0 = Var (xt)=退化成为方差。自相关系数定义Cov(xt, xt).Var(xt) ,.Var(xt Q(2.28)因为对于一个平稳过程有2 Var (xt) = Var (xt - k)=；二所以(2.28)可以改写为、_ Cov(xt ,Xt 丄) 丄:k =2= _ 2 =匚 x二 x0(2
3、.29)(2.30)当 k = 0 时，有：?0 = 1 。以滞后期k为变量的自相关系数列;k, k= 0, 1, K ,(2.31)称为自相关函数。因为= ;?- k即Cov (xt - k , xt ) = Cov (xt , x t + k )，自相关函数是零对称的, 所以实际研究中只给出自相关函数的正半部分即可。2.自回归过程的自相关函数(1)平稳AR(1)过程的自相关函数AR(1)过程如下xt = J|Xt-1 + Ut ,: 1用xt- k同乘上式两侧xt xt- k = J.lxt-1 xt- k + Ut xt- k# / 14两侧同取期望，k =1 k -1其中E(ut xt
4、- k) = 0 (ut与其t - k期及以前各项都不相关)。两侧同除 ,并进行迭代计算得 :k = 1 ：?k -1 = 1 1 -2 =I0因为-0 = 1。所以有k R =电，(k 0)对于平稳序列有 訂.1。所以当 1为正时，自相关函数按指数衰减至零，当1为负时，自相关函数正负交错地指数衰减至零。见图2.6。因为对于经济时间序列，1 一般为正，所以第一种情形常见。 指数衰减至零的表现形式说明随着时间间隔的加长，变量之间的关系变得越来越弱。(经济序列自相关函数常见形式)图 2.6 AR(1)0. 60. 40. 20. 0-0. 2-0.4-0. 6-0. 8 ： 0 (经济序列自相关函
5、数少见形式)0. 80. 60. 40. 20. 0 -0. 2 -0.4-0. 6 -0. 80. 8用人-k, (k、:i同乘平稳的p阶自回归过程xt = 1 xt -1 +2 xt -2 + p xt - p + ut(2.32)的两侧，得xt - k xt =1 xt - k xt -1 +对上式两侧分别求期望得2 xt - k xt -2 + + p xt - k xt - p + xt - k Ut(2.33)k =1 k -1 +2 k -2 + -+ rp k - p , k 0(2.34)上式中对于k - 0,有E(Xt - k ut) = 0。因为当k - 0时，xt -
6、k发生在ut之前，所以 不相关。用分别除(2.34)式的两侧得xt - k 与 5:k = 1 :k -1 + 2 凡-2 + p 凡-p , k 0(2.35)令：(L) = (1 - 1 L - 2 L2 -p Lp)其中L为k的滞后算子，则上式可表达为(L)凡=0因(L)可因式分解为，p：；J(L) = |丨(1-GiL),i =1则(2.35)式的通解是:k = A1 G1k + A2 G2k + Ap Gp .(2.36)过程的自相关函数(2) AR( p)过程的自相关函数其中Ai, i = 1,为常数。这里Gi-1, i = 1,2,是特征方程G(L) = (1 - 1 L - 2
7、 L2 -p LP ) = 0的根。为保证随机过程的平稳性，要求|Gi| : 1, i = 1,2,p。,这会遇到如下两种情形。 当Gi为实数时，(2.36)式中的Ai Gik将随着k的增加而几何衰减至零，称为指数衰 减。 当Gi和Gj表示一对共轭复根时，设Gi = a + bi,Gj= a-bi, . a2 b2 =R,则Gi,Gj的极座标形式是 Gi = R (Cos： + i Sinv), Gj = R (Cos - i Sinv)。若 AR(p)过程平稳，贝U Gi 1,所以必有R 1 ut -k -1)当k = 0时，0 = E(xt xt-) = E ( ut+ 门 ut -1)
8、(ut + 二 ut -1)=E (ut2 + 了 ut ut-1 + t|1 ut ut-1 + R2ut-12 ) = (1 + J2 ) ；2当k = 1时1 = E(xt xt- 1) = E ( ut+ r ut -1) (ut -1 + 乃 ut -2)=E (ut ut -1 + 勺 ut-12 + 弓 utut -2 + J2 ut -1 ut -2)= 勺 E (ut -1) 2 =- 2当kA 1时，k = E ( ut+ N ut -1) (ut -k+ 刁 ut -k -1) = 0综合以上三种情形，MA(1)过程自相关函数为k 1,k = % = J 1+a2.0,
9、见图2.7。0. 80. 60. 40. 20. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 824681012140. 80. 60. 40. 20. 0-0. 2-0. 4-0. 6-0. 8日 0Be 0图2.7MA(1)过程的自相关函数可见MA(1)过程的自相关函数具有 截尾特征。当k . 1时，凡=0。MA( q)过程的自相关函数MA( q)过程的自相关函数是Vk r Tk 1 龙 Vk! ：2 .为 _k q k =222, k= 1,2,q-,1 r - 712. Vq.0kq ,当k q时，“ =0,说明二k , k = 0, 1,具有截尾特征。(注意：模型移动平均项的符号
10、以及这里 这样表示的好处是保持与计算机输出结果一致:k的符号正好与 Box-Jenkins书中的符号相反,)4. ARMA (1, 1)过程的自相关函数ARMA (1, 1)过程的自相关函数?k从：?1开始指数衰减。1的大小取决于 1和，订 的符号取决于(1 - -1 )。若1 0,指数衰减是平滑的，或正或负。若1 2时，自相关函数是指数衰减或正弦衰减的。5. 相关图 (correlogram)对于一个有限时间序列(X1 , X2,XT)用样本平均数-1 yX =XtT 2估计总体均值7用样本方差T s2 = T (Xt X)2T t =1估计总体方差 G2。其中T是时间序列数据的样本容量。当用样本矩估计随机过程的自相关函数，则称其为相关图或估计的自相关函数，记为CkC0k = 0, 1 , 2,K, ( K 1时，kk = 0,所以AR(1)过程的偏自相 关函数特征是在 k = 1出现峰值(110. 80. 6 _O4 . d0. 20. 0 丄二
