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1、-第一章 随机过程的基本概念一、随机过程的定义例1：医院登记新生儿性别，0表示男，1表示女，*n表示第n次登记的数字，得到一个序列*1 ， *2 ， ，记为*n，n=1,2, ，则*n 是随机变量，而*n，n=1,2, 是随机过程。例2：在地震预报中，若每半年统计一次发生在*区域的地震的最大震级。令*n 表示第n次统计所得的值，则*n 是随机变量。为了预测该区域未来地震的强度，我们就要研究随机过程*n，n=1,2, 的统计规律性。例3：一个醉汉在路上行走，以概率p前进一步，以概率1-p后退一步（假设步长相同）。以*(t)记他t时刻在路上的位置，则*(t), t0就是（直线上的）随机游动。例4：
2、乘客到火车站买票，当所有售票窗口都在忙碌时，来到的乘客就要排队等候。乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的，所以如果用*(t)表示t时刻的队长，用Y(t)表示t时刻到来的顾客所需等待的时间，则*(t), tT和Y(t), tT都是随机过程。定义：设给定参数集合T，若对每个tT, *(t)是概率空间上的随机变量，则称*(t), tT为随机过程，其中T为指标集或参数集。，E称为状态空间，即*(t)的所有可能状态构成的集合。例1：E为0,1例2：E为0, 10例3：E为例4：E都为注：（1）根据状态空间E的不同，过程可分为连续状态和离散状态，例1，例3为离散状态，其他为连续状态。（2）参数集T
3、通常代表时间，当T取R, R+, a,b时，称*(t), tT为连续参数的随机过程；当T取Z, Z+时，称*(t), tT为离散参数的随机过程。（3）例1为离散状态离散参数的随机过程，例2为连续状态离散参数的随机过程，例3为离散状态连续参数的随机过程，例4为连续状态连续参数的随机过程。二、有限维分布与Kolmogorov定理随机过程的一维分布：随机过程的二维分布：随机过程的n维分布：1、有限维分布族：随机过程的所有一维分布，二维分布，n维分布等的全体称为*(t), tT的有限维分布族。2、有限维分布族的性质：（1）对称性：对（1,2，n）的任一排列，有（2）相容性：对于mn，有3、Kolmog
4、orov定理定理：设分布函数族满足上述的对称性和相容性，则必存在一个随机过程*(t), tT，使恰好是*(t), tT的有限维分布族。定义：设*(t), tT是一随机过程：（1） 称*(t)的期望（如果存在）为过程的均值函数。（2） 如果，存在，则称随机过程*(t), tT为二阶矩过程。此时，称函数，为过程的协方差函数；称为过程的方差函数；称为自相关函数。例：，其中和V是相互独立的且均服从N(0,1)分布的随机变量，求和。三、随机过程的基本类型独立增量过程：如果对任意随机变量是相互独立的，则称*(t), tT是独立增量过程。平稳增量过程：如果对任意，有*(t1+h)-*(t1) *(t2+h)
5、-*(t2)，则称*(t), tT是平稳增量过程。平稳独立增量过程：兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程，例如Poisson过程和Brownian motionPoisson 过程2.1 Poisson 过程1. 计数过程定义：随机过程称为计数过程，如果表示从0到t时刻*一特定事件A发生的次数，它具备以下两个特点：（1）且取值为整数；（2）时，且表示时间内事件A发生的次数。2. Poisson过程定义2.1.1：计数过程称为参数为（）的Poisson过程，如果（1）（2）过程具有独立增量性；（3）在任一长度为t的时间区间中事件发生的次数服从均值为的Poisson分布，即对一切，有
6、注：Poisson过程具有平稳增量性因为的分布只依赖于t, 与区间起点s无关，于是可认为是单位时间内发生的事件的平均次数，一般称是Poisson过程的强度。例2.1.1：（Poisson过程在排队论中的应用）研究随机服务系统中的排队现象时，经常用到Poisson过程模型。例如：到达电话总机的呼叫数目，到达*服务设施（商场、车站、购票处等）的顾客数，都可以用Poisson过程来描述。以*火车站售票处为例，设从早上8:00开始，此售票处连续售票，乘客以10人/小时的平均速率到达，则9:00-10:00这一小时内最多有5名乘客来此购票的概率是多少.10:00-11:00没有人来买票的概率是多少.解：
7、我们用一个Poisson过程来描述，设8:00为时刻0，则9:00为时刻1，参数，于是, 例2.1.2：（事故发生次数及保险公司接到的索赔数）若以表示*公路交叉口、矿山、工厂等场所在时间内发生不幸事故的数目，则Poisson过程就是的一种很好近似。例如，保险公司接到赔偿请求的次数（设一次事故导致一次索赔），向315台的投诉（设商品出现质量问题为事故）等都是可以用Poisson过程的模型。我们考虑一种最简单的情形，设保险公司每次的赔付都是1，每月平均接到索赔要求4次，则一年中它要付出的金额平均为多少.解：设一年开始时刻为0，1月末为时刻1，年末为时刻12，则有=48问题：为什么实际中有这么多现象
8、可以用Poisson过程来反映呢.定理2.1.1：定义1和定义2是等价的。例2.1.3：事件A的发生形成强度为的Poisson过程，如果每次事件发生时以概率p能够被记录下来，并以M(t)表示到时刻t被记录下来的事件总数，则是一个强度为的Poisson过程。例2.1.4：若每条蚕的产卵数服从Poisson分布，强度为，而每个卵变为成虫的概率为p，且每个卵是否变为成虫彼此间没有关系，求在时间0, t内每条蚕养活k只小蚕的概率。2.2 与Poisson过程相联系的若干分布设表示第n次事件发生的时刻，n=1,2，规定。表示第n次与第n-1次事件发生的间隔时间，n=1,2，。1. 关于和的分布定理2.2
9、.1：（n=1,2,）服从参数为的指数分布，且相互独立。定理2.2.2：（n=1,2,）服从参数为n和的分布。注：如果每次事件发生的时间间隔相互独立，且服从同一参数为的指数分布，则计数过程是参数为的Poisson过程。例2.2.1：设从早上8:00开始有无穷多的人排队等候服务，只有一名服务员，且每个人接受服务的时间是独立的并服从均值为20min的指数分布，则到中午12:00为止平均有多少人已经离去，已有9个人接受服务的概率是多少.例2.2.2：假设*天文台观测到的流星流是一个Poisson过程，根据以往资料统计为每小时平均观察到3颗流星。试求：上午8:00-12:00期间，该天文台没有观察到流
10、星的概率。2. 事件发生时刻的条件分布对于，有现在考虑的情况：定理2.2.1：在已知的条件下，事件发生的n个时刻的联合分布密度是， 例2.2.3：乘客按照强度为的Poisson过程来到*火车站，火车在时刻t启程，计算在内到达的乘客等待时间的总和的期望值。即要求，其中是第i个乘客来到的时刻。2.3 Poisson过程的推广1. 非齐次Poisson过程定义：计数过程称作强度函数为的非齐次Poisson过程，如果等价定义：定义：计数过程称作强度函数为的非齐次Poisson过程，若（1）（2）具有独立增量性；（3）即任意实数，为具有参数的Poisson分布，称为非齐次Poisson过程的均值函数（或
11、累积强度函数）。定理：设是一个强度函数为的非齐次Poisson过程。对任意的，令则是一个强度为1的Poisson过程。例：设*设备的使用期限为10年，在前5年内它平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年需维修一次。试求它在试用期内只维修过一次的概率。2复合Poisson过程定义：称随机过程为复合Poisson过程，如果对于，它可以表示为：，其中是一个Poisson过程，是一族独立同分布的随机变量，并且与独立。注：复合Poisson过程不一定是计数过程。例：保险公司接到的索赔次数服从一个Poisson过程，每次要求赔付的金额都相互独立，且有相同分布F，每次的索赔数额与它发生的时刻无关，则时间内保
12、险公司需要赔付的总金额就是一个复合Poisson过程，其中。例：设顾客到达*服务系统的时刻，形成一强度为的Poisson过程，在每个时刻，可以同时有多名顾客到达。表示在时刻到达的顾客人数，假定相互独立，并且与也独立，则在时间内到达服务系统的顾客总人数可用一复合Poisson过程来描述。例：假定顾客按照参数为的Poisson过程进人一个商店，又假设各顾客所花的钱数形成一族独立同分布的随机变量。以记到时间t为止顾客在此商店所花费的总值，易见是一个复合Poisson过程。定理：设，是一复合Poisson过程，Poisson过程的强度为，则（1）有独立增量；（2）若，则，例：在保险中的索赔模型中，设索
13、赔要求以Poisson过程到达保险公司，速率为平均每月两次。每次索赔服从均值为10000元的正态分布，则一年中保险公司平均的赔付额是多少.例：设顾客以每分钟6人的平均速率进入*商场，这一过程可用用Poisson过程来描述。又该进入该商场的每位顾客买东西的概率为0.9，且每位顾客是否买东西互不影响，也与进入该商场的顾客数无关。求一天（12小时）在该商场买东西的顾客数的均值。3条件Poisson过程定义：设随机变量，在的条件下，计数过程是参数为的Poisson过程，则称为条件Poisson过程。定理：设是条件Poisson过程，且，则（1）；（2）例：设意外事故的发生频率受*种未知因素影响有两种可
14、能，且，为已知。已知到时刻t已发生了n次事故。求下一次事故在t+s之前不会到来的概率。另外，这个发生频率为的概率是多少.第三章 Markov 链3.1 基本概念定义3.1.1：随机过程称为Markov链，若它只取有限或可列个值（常用非负整数集来表示），并且对任意的，及任意状态，有=，其中表示过程在时刻n处于状态，称为该过程的状态空间，记为. 上式刻画了Markov链的特性，称为Markov性。定义3.1.2：称条件概率为Markov链的一步转移概率，简称转移概率，记为，它代表处于状态的过程下一步转移到状态的概率。定义3.1.3：当Markov链的转移概率=只与状态有关，而与n无关时，称之为时齐
15、Markov链；否则，就称之为非时齐的。注：我们只讨论时齐Markov链，简称Markov链。定义3.1.4：当Markov链的状态为有限时，称为有限链，否则称为无限连。但无论状态有限还是无限，我们都可以将（）排成一个矩阵的形式，令P=（）=为转移概率矩阵，简称转移矩阵。容易看出（）具有性质：（1），；（2）=1，。例3.1.1：考虑一个包含三个状态的模型，若个体健康，认为他处于状态，若他患病，认为他处于状态，若他死亡，认为他处于状态，易见这是一个Markov链，转移矩阵为P=例3.1.2：（赌徒的破产或称带吸收壁的随机游动）系统的状态时，反映赌博者在赌博期间拥有的钱数，当他输光或拥有钱数为n时，赌博停止，否则他将持续赌博。每次以概率p赢得1，以概率q=1-p输掉1。这个系统的转移矩阵为P=例3.1.3：（带反射壁的随机游动）设上例中当赌博者输光时将获得赞助1继续赌下去，就如同一个在直线上做随机游动的球在到达左侧0点处立刻反弹回一样，这就是一个一侧带有反射壁的随机游动，此时转移矩阵为：P=例3.1.4：（自由随机游动）设一个球在全直线上做无限制的随机游动，它的状态为0，它是一个Mar
