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1、数学是科学的大门和钥匙-培根因式分解全章复习与巩固（提高）责编：杜少波【学习目标】1. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算；2掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法；3. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.【知识网络】【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式
2、，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.要点三、公式法1.平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：2.完全平方公式两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方即，.形如，的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多
3、项式.要点四、十字相乘法和分组分解法十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在 ，则分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点五、因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能
4、分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止【典型例题】类型一、提公因式法分解因式1、 分解因式： (1)；(2)【答案与解析】解：(1) (2)【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否 2、利用分解因式证明：能被120整除【思路点拨】25，进而把整理成底数为5的幂的形式，然后提取公因式并整理为含有120的因数即可【答案与解析】证明：能被120整除【总结升华】解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有120的因数相乘的形式类型二、公
5、式法分解因式3、放学时，王老师布置了一道分解因式题：，小明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的【思路点拨】把分别看做一个整体，再运用完全平方公式解答【答案与解析】解：把看作完全平方式里的；原式【总结升华】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把看作完全平方式里的是解题的关键举一反三：【变式】下面是某同学对多项式进行因式分解的过程解：设原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）A、提取公因式 B平方差公式C、两数和的完全平方公式 D两数差的完
6、全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底_（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_.（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解【答案】解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；（2）还可以分解，分解不彻底；结果为.（3）设，2，4、（2016秋海安县期末）因式分解：（1）；（2）.【思路点拨】（1）直接提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可；（2）先去括号，利用平方差公式分解因式即可.【答案与解析】解：（1）；（2）.【总结升华】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键举一反三：【变式】设，（为大于0的自然数）（1）探究是否为8的倍数，并
7、用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”试找出，这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当满足什么条件时，为完全平方数（不必说明理由）【答案】解：（1），又为非零的自然数，是8的倍数这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256为一个完全平方数的2倍时，为完全平方数类型三、十字相乘法和分组分解法分解因式5、分解因式：（1）（2）（3）【答案与解析】解：（1）原式（2）原式 （3）原式【总结升华】做题之前要仔细观察，注意从整体的角度看待问题.举一反三
8、：【变式】（浦东新区校级期末）（xy）2+5（xy）50【答案】解：将（x-y）看成一个整体，原式=（xy+10）（xy5）6、已知长方形周长为300厘米，两邻边分别为厘米、厘米，且0，求长方形的面积【思路点拨】把0化简成，可得，由题意可得，解方程组即可.【答案与解析】解：000，（不合题意，舍去）又由题意可得解方程组解之得，100，50长方形的面积100505000平方厘米【总结升华】本题是因式分解在学科内的综合运用，主要考查了分组分解法，提取公因式法和运用平方差公式法举一反三：【变式】因式分解：，正确的分组是（）A BC D【答案】D；当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解本题中正好符合完全平方公式，应考虑2，3，4项为一组数学是最宝贵的研究精神之一-华罗庚
