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1、函数基本性质奇偶性知识点及经典例题一、函数奇偶性的概念： 设函数y，f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x,都有-xD,且f(-x)=-f(x)，则这个函数叫奇函数。(如果已知函数是奇函数，当函数的定义域中有0时，我们可以得出f(0)=0) 设函数y，g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x,都有-xD，若g(-x)=g(x)，则这个函数叫偶函数。从定义我们可以看出，讨论一个函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断，看其定义域是否关于原点对称。也就是说当x在其定义域内时，-x也应在其定义域内有意义。 图像特征如果一个函数是奇函数这个函数的图象关于坐标原点对称。如果一个函数是偶函数这个
2、函数的图象关于y轴对称。 复合函数的奇偶性：同偶异奇。 对概念的理解：(1) 必要条件：定义域关于原点成中心对称。(2) f(x)与f(-x)的关系：当f(-x)，f(x)或f(-x)f(x)，0或,1时为偶函数；f(x)当f(-x)，-f(x)或f(-x)+f(x)，0或，-1时为奇函数。f(x)二、函数的奇偶性与图象间的关系： 偶函数的图象关于y轴成轴对称，反之也成立； 奇函数的图象关于原点成中心对称，反之也成立。三、关于函数奇偶性的几个结论： 若f(x)是奇函数且在x0处有意义，则f(0)0 偶函数土偶函数二偶函数；奇函数土奇函数二奇函数;偶函数,偶函数二偶函数；奇函数,奇函数二偶函数；
3、偶函数,奇函数二奇函数 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.四典型问题(一)、关于函数奇偶性的判定方法：(1)定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称.若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断f(x)-f(x)或f(x)f(-x)是否定义域上的恒等式；(2)图象法：观察图像是否符合奇、偶函数的对称性#说明：(1) 分段函数的奇偶性的判定和分类讨论思想密切相关，要注意自变量在不同情况下表达式的不同形式以及它们之间的相互利用。(2) 判断函数的奇偶性，首先要考查定义域是否对称。(3) 若判断函数不具备奇偶性，只需举出一个反例即可。(4) 函数就
4、奇、偶性来划分可以分成奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数也是偶函数。1. 判断下列函数的奇偶性：#3)f(x)0一x2+x(x0)x2+x(x0)5)f(x)(6)已知函数f(x)满足：f(x+y)+f(xy)=2f(x)f(y)(x,yR)，且f(0)0,则函数f(x)的奇偶性为。(二)、关于函数奇偶性的运用1利用奇偶性求函数式或函数值1.设函数f(x)为定义域为R上奇函数，又当x0时f(x)=x22x3，1试求f(x)的解析式。2.已知y二f(x)是奇函数，当x0时，f(x)二2x2-x+1，求当x0时，f(x)得解析式。3.设函数f(x)是定义域R上的奇函数，f(x+2)=_f(x
5、)，当0x1时，f(x)二x,求f(7.5)的值4.设f(x)在R上是偶函数，在区间(-0)上递增，且有f(2a2+a+1)f(3a2-2a+1)，求a的取值范围。#5.已知函数f(x)ax5+bx3+4,若f(-2)0,求f的值。16. 若函数f(x)是偶函数，则f(1+、：2)-f()。127. 已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(兀)=丄,试求f(x)g(x)x一1的表达式。2. 逆用函数奇偶性求参数的值1.若函数f(x)=x4+(m一2n)x3+(2m+n一2)x+mn为偶函数，求实数m,n的值。2. 若函数f(x)=ln(x+bx2+k)是R上的奇函数，贝I实数k
6、=3已知函数f(x)=a，丄,若f(x)为奇函数，求实数a的取值。2x+13. 奇偶函数的图象关系及其运用#1.若奇函数f(x)在区间3,7上是增函数且最小值为5,则f(x)在区间7,-3上是()A增函数且最小值为-5;B增函数且最大值为-5;C.减函数且最小值为-5；D.减函数且最大值为-52.已知函数f(x)在(0,2)上是增函数，又函数f(x+2)是偶函数，贝I()Af(1)f弓)f(孙Bf(7)ff(5)；c.f中f中f(1)；d.f(5)f(1)f(7)3. 设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(-a,0)上是增函数，已知x0,x,0,f(x),f(x),那么定有()1212A.x+
7、x,0;B.x+x0;C.f(-x)f(-x);D.f(-x)f(-x),0121212124.定义在区间(g,+a)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间0,+a)上的图象与f(x)的图象重合，设ab0,给出下列不等式：f(b)f(a)g(a)g(b);f(b)f(a),g(a)g(b)；f(a)f(b)g(b)g(a)；f(a)f(b),g(b)g(a)。其中正确的不等式个数为()A.1；B.2；C.3；D.45若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在(0,+a)上是增函数，又f0,则不等式f(x)0时f(x)0,f(2)，-1,讨论y，fG)的奇、偶性并加以证明；，fG)在R上的单调性并加以证明。求在6,6上的最值。#
