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1、第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数1二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数. 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项22.1.2 二次函数的图象和性质1. 二次函数基本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值
2、例1若抛物线y=ax2经过P（1，2），则它也经过 ( )A（2，1） B（1，2） C（1，2） D（1，2）【答案】【解析】试题解析：抛物线y=ax2经过点P（1，-2），x=-1时的函数值也是-2，即它也经过点（-1，-2）故选D考点：二次函数图象上点的坐标特征例2若点(2，-1)在抛物线上，那么，当x=2时，y=_推荐精选【答案】-1【解析】试题分析：先把(2，-1)直接代入即可得到解析式，再把x=2代入即可.由题意得，则，当时，考点：本题考查的是二次函数点评：解答本题的关键是掌握二次函数图象上的点适合这个二次函数的关系式.2. 的性质：上加下减.的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴
3、时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值例1若抛物线y=ax2+c经过点P （l，2），则它也经过 （ ）AP1（1，2 ） BP2（l， 2 ） CP3（ l， 2） DP4（2， 1）【答案】A【解析】试题分析：因为抛物线y=ax2+c经过点P （l，2），且对称轴是y轴，所以点P （l，2）的对称点是（1，2），所以P1（1，2）在抛物线上，故选：A.考点：抛物线的性质.例2已知函数y=ax+b经过（1，3），（0，2），则ab=（ ）A1 B3 C3 D7【答案】D【解析】试题分析：函数y=ax+b经过（1，3），（
4、0，2），解得推荐精选ab=5+2=7故选D考点：1直线上点的坐标与方程的关系；2求代数式的值例3两条直线y1axb与y2bxa在同一坐标系中的图象可能是下图中的 ( ) 【答案】无正确答案【解析】分析：首先根据两个一次函数的图象，分别考虑a，b的值，看看是否矛盾即可解：A、由y1的图象可知，a0，b0；由y2的图象可知，a0，b0，两结论矛盾，故错误；B、由y1的图象可知，a0，b0；由y2的图象可知，a0，b0，b0；由y2的图象可知，a0，b0，两结论相矛盾，故错误；D、由y1的图象可知，a0，b0；由y2的图象可知，a0，b0，两结论相矛盾，故错误故无正确答案点评：此题主要考查了一次函
5、数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题一次函数y=kx+b的图象有四种情况：当k0，b0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；当k0，b0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；当k0，b0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；当k0，b0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限22.1.3 二次函数的图象和性质左加右减.的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值 的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质推荐精选向上X=h时，随的增大而增大；时，随的
6、增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值例1将二次函数y=x22x3化成y=（xh）2+k形式，则h+k结果为（）A5 B5 C3 D3【答案】D【解析】试题分析：y=x2-2x-3=（x2-2x+1）-1-3=（x-1） 2-4则h=1，k=-4，h+k=-3故选D考点: 二次函数的三种形式例2把二次函数y=x2+6x+4配方成y=a（x-h）2+k的形式，得y=_，它的顶点坐标是_【答案】（x+3）2-5，（-3，-5）【解析】试题分析：y=+6x+4=，则顶点坐标为（3，5）考点：二次函数的顶点式例3把二次函数配方成ya（xk）2h的形式，并
7、写出它的图象的顶点坐标、对称轴.【答案】y= 顶点坐标（3，-），对称轴方程x3【解析】试题分析：y=x23x+4=（x3）2，则顶点坐标（3，），对称轴方程x=3，考点：二次函数的图像及性质1、二次函数图象的平移（1）平移步骤：推荐精选方法一：（1）将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；（2）保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： （2）平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二：（1）沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）（2）沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）例1将二次函数yx2的图象
8、向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为()Ayx21 Byx21Cy(x1)2 Dy(x1)2【答案】A【解析】直接根据上加下减的原则进行解答即可，将二次函数yx2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为：yx21.故选A.例2将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是Ay=(x1)2+2 By=(x+1)2+2Cy=(x1)22 Dy=(x+1)22【答案】A【解析】试题分析：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（1，2）可设新抛物线的解析式为y=（xh）2+k，代入得y=（
9、x1）2+2推荐精选故选A考点：二次函数图象与几何变换例3将二次函数的图象如何平移可得到的图象（ ）A向右平移2个单位，向上平移一个单位B向右平移2个单位，向下平移一个单位C向左平移2个单位，向下平移一个单位D向左平移2个单位，向上平移一个单位【答案】C【解析】，根据二次函数的平移性质得：向左平移2个单位，向下平移一个单位.故选C.例4已知点P（1，m）在二次函数y=x21的图象上，则m的值为 ；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为 【答案】0，y=x22x【解析】点P（1，m）在二次函数y=x21的图象上，（1）21=m，解得m=0，平移方法为向右平
10、移1个单位，平移后的抛物线的二次函数的顶点坐标为（1，1），平移后的函数图象所对应的解析式为y=（x1）21=x22x，即y=x22x故答案为：0，y=x22x2、二次函数与的比较从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中3、二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及推荐精选关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.4、二
11、次函数的性质 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值例1当a 0 时，方程ax2+bx+c=0无实数根，则二次函数y=ax2+bx+c的图像一定在 （ ）A、x轴上方 B、x轴下方 C、y轴右侧 D、y轴左侧【答案】B【解析】试题分析：方程ax2+bx+c=0无实数根，b2+4ac0，即函数图形与x轴没有交点又a 0，二次函数y=ax2+bx+c的图像一定在x轴下方故选B考点：二次函数的性质例2已知二次函数y=ax2+b
12、x+c的图象如图，则a、b、c满足 （ ）A、a0，b0，c0 B、a0，b0，c0C、a0，b0，c0 D、a0，b0，c0【答案】A【解析】试题分析：由于开口向下可以判断a0，由与y轴交于正半轴得到c0，又由于对称轴x=-0，可以得到b推荐精选0，所以可以找到结果试题解析：根据二次函数图象的性质，开口向下，a0，与y轴交于正半轴，c0，又对称轴x=-0，b0，所以A正确考点：二次函数图象与系数的关系例3已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=1，给出下列结果：b24ac；abc0；2a+b=0；a+b+c0；ab+c0，则正确的结论是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：根据抛物线与x轴有两个交点，可得=b24ac0，即b24ac，故正确；根据抛物线对称轴为x=0，与y轴交于负半轴，因此可知ab0，c0，abc0，故错误；根据抛物线对称轴为x=1，2ab=0，故错误；当x=1时，y0，即a+b+c0，故正确；当x=1时，y0，即ab+c0，故正确；正确的是故选D考点：二次函数图象与系数的关系推荐精选例4如果二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，那么（ ）Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0 Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0【答案】D
