《专题05：同构携手放缩》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题05：同构携手放缩（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题 12：同构携手放缩专题 12：同构携手放缩专题阐述：同构法是将不同的代数式（或不等式、方程）通过变形，转化为形式结构相 同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想此 方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力，对代数式的变形能 力的要求也是比较高的考法一：部分同构携手放缩法（同构放缩需有方，切放同构一起上）规律方法 在学习指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式：（1）当 a 0 且 a 丰 1 时，有 x = aiogax（2）当 a 0且 a 丰 1 时，有x = log ax
2、a再结合指数与对数运算法则可以得到下述结论（其中x 0 ） （“ex”三兄弟与“lnx”三姐妹）3)xe x = e x +ln x ，x + ln x = ln (xe x)4)ex=e x - ln x ，xexx 一 ln x = ln -x6)x=eln x-x，exln x - x = ln exx再结合常用的切线不等式：ex x +1，exex，lnx x +1，lnx x + lnx +1， x + lnx = lnCex)e(x+lnx)，x + ln x 一 ln Ce x ) x-lnx +1， x-lnx = ln e(x - ln x )，e xe x-1x - ln
3、x = ln ln x - x +1ln x - x = ln e (ln x x)，ln x - x = lnexexxe x+1exex例1.已知f （x） = ln x + x - xe x+1，则函数f （x）的最大值为解析：x+1 =x + ln x ex+ln x+1 1),其中b 0，若f (x)0恒成立，则实数a 与 b 的大小关系是解析： f (x) 0 oxbex alnx + x +1 o ex+binx x 1 alnx o a =bln xln x当且仅当x + blnx = 0等号成立，所以a b .例 3 .已知函数f (x) = lnx + ax+1.(1)若函
4、数f (x)有两个零点，求实数a的取值范围；(2)若f (x) 0时，f x 0，f (x)在定义域上单调递增，不可能有两个零点当a 0 xa当xef0, 1 时，f x 0，f (x)在定义域上单调递增 k a丿当x ef-+时，f(x ) 0k a 丿解得1 a 0.(2)要使f (x) xe x恒成立，只要ln x + ax +1 xex恒成立令 g (x) =xex lnx1xe x ln x 1只要a 恒成立,当且仅当x + lnx = 0时取等号，所以f (x) xex恒成立，实数a的取值范围为a 1.【点睛】本题难点在第2问，由所求不等式出发，经参变分离将问题转化为a x + l
5、nx +1 xx的放缩，巧妙地得出g(x)的最小值，进而求出参数a的取值范围.【针对训练】1.函数f (x)二x2e二2ln x的最小值是x + 1【答案】1【分析】先利用导数证明ex X +1在R上恒成立，再构造函数f (x)= ex+2ln2ln x ,结 x +1合放缩法即可求出函数的最小值.【详解】令g (x) = ex - (x +1)，则 g，(x) = ex -1，令 g(x) 0 n x 0 n x 0，所以函数g(x)在(-8,0)上单调递减，在(0, +8)上单调递增,所以 g(x)min= g(0) = 0，即 ex - (x +1) 0在 R 上恒成立, 所以 ex x
6、 +1 ，故 f (x)= x2ex -2ln x = ex+2inx -2ln x x + 2ln x +1 -2ln x =】x+1x+1x+1当且仅当 x + 2ln x = 0 取等号 故答案为：1.2.已知函数f (x)= aex -lnx-1，若f (x)0恒成立，则实数a的取值范围是1【答案】a 故答案为：a .e3已知函数 f (x) = xe x - a (x +lnx)有两个零点，则实数a的取值范围是答案】 a e分析】通过同构简化函数形式，然后再转化成两个函数，画图确定参数范围.详解】 f (x) = xex -a(x +ln x)= e x +ln x - a(x+ln
7、 x)， 令t = x + lnx，t e R ,显然该函数 单调递增，即et-at = 0有两个根，即et = at有两个根，如下图，作出函数y = et的图像 及其过原点的切线y = et，可知当a e时有两个交点即et = at有两个根. 故答案为： a e.e【分析】恒成立问题，可以用参变分离求最值的方法，结合放缩即可得答案.ln x + 1【详解】aex - ln x -1 0 o a exln x + 1 x 1 由于lnx +1 ex，两者都是当且仅当x=1等号成立，则5 =-ex ex e1 所以a -.e规律方法 在能成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造
8、出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一个函数)，无疑大大加快解决问题的速度，找到这个函数模型的方法，我们就称为整体同构法.如，若(x ) 0能等价变形为f g (x) f h(x)，然后利用f (x)的单调性，如递增，再转化为g(x)h(x)，这种方法我们就可以称为同构不等式(等号成立时，称为同构方程)，简称同构法.1.地位同等同构(主要针对双变量，合二为一泰山移)f () f ()(1)八7 八Tk(xx )o f (x )一 f (x ) kx 一kx o f (x )一kx f (x )一kxx x121212112212oy =f (x)kx为增函数 f(xi)-f
9、 (x2)亠(x = 土-士x 一xxx 1212 xx x x1 2 1 2 1 2 2 1o f (x )+ f (x )+ o y = f (x)+ -为减函数1 x12 x2x含有地位同等的两个变量x，x或p, q等的不等式，进行“尘化尘，土化土”式的整理， 12是一种常见变形，如果整理(即同构)后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调 性(需要预先设定两个变量的大小)2.指对跨阶同构(主要针对单变量，左同右同取对数)1)积型：同左aea (ln b )elnb构造函数 ( )T 八x = xe x同右ea ln ea b ln b构造函数f (x)= xlnx f x x x取对a
10、 + ln a ln b + ln (ln b)构造函数f (x )= x + ln xmmxm maea me x o x2 ln x2 二 e x o x 2 ln x 2 e x lne x后面的转化同(1)说明：在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知(2)商型：同左eaein b构造函数f (x )= exain bx同右eab 构造函数f ( x)xin eain bin x取对a 一 in a inb 一 in (inb)构造函数f仃)x in xT f x = x in xea b三种同构方式 b 土 In b两种同构方式同左ea 土 a ein
11、b 土 In b同右 ea 土 in ea b 土 in b构造函数f (x)= ex 土x 构造函数f (x )= x 土 in x如 e ax+ ax in (x +1) + x +1o eax + ax ein(x+1)+in(x+1)o ax in(x+1)3无中生有同构(主要针对非上型，凑好形式是关键)(1) aeax in x 同乘x(无中生有) axeax xin x后面的转化同 2(1)1(2) ex a in (ax - a)-a o ex in a (x -1)-1 o ex-ina 一 in a in (x -1)-1a同加 X无中生有) e x-in a + x 一 i
12、n a in (x 一 1)+ x 一 1 = ein(x-1) + in (x 一 1)o x 一 in a in (x 一 1)3) ax iog xoexina ao (x in a )e x in a in a xin x 后面的转化同 2(1) 例4.已知f (x)= a in (x +1)-x 2,在区间(1,2 )内任取两实数p, q,且p丰q，不等式 f (p +1)一 f (q +1)f P + 一八+ q 时，f (p +1)f (q + 1)(p + 1)一(q +1)即 f (P +1)-(P +1) f (q + 1)-(q +1)令 g (x)= f (x + 1)-(x +1)，则 g (p
