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1、线性相关性一、填空题例设向量组a = (1,2,1)t,a = (2,3,1)t,a =(兀,3,1)t,a = (2,y,3,的秩为 2,则兀=1234y =5.例已知向量组a =(1,2,-1 , a =(2,0, t)T, a =(0,4,5 线性相关，则t =31 23例若向量组a = (12,3) t,a = (2,3,4) t,a = (3,4,t)t 线性相关，则 t = 5 1 23、 选择题例设矩阵A、B、C均为n阶方阵，若AB = C,且B可逆，以下正确的是【B】(A) 矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价；(B) 矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价；(C矩阵C的行向
2、量组与矩阵B的行向量组等价；(D)矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价.0、0、1、-1、0, a =1, a =-1, a =12341C J2,C3IC4丿例 a1 =关的为( C )(A) a ,a ,a ；(B)a ,a ,a ; (C) a ,a ,a ; (D) a ,a ,a .123124134234其中C1,C2,C3,C4为任意常数，则下列向量组线性相例设a ,a，,a均为n维列向量，下列选项不正确的是【B】1 2 s(A)对于任意一组不全为0的数k ,k，,k都有ka , +k a +ka丰0，则a ,a ,a线1 2 s 1 1 2 2 s s 1 2 s性无关；(B
3、 )若a , a，,a线性相关，则对于任意一组不全为0数k , k，,k都有1 2 s 1 2 ska , +k a + +k a = 0 ；1 1 2 2 s s(C) a ,a，,a线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s ；12 s(D) 若a , a ,a线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.12 s例设a ,a，,a均为n维列向量，A是mxn矩阵，下列选项正确的是【A】12 s(A) 若a , a，,a线性相关，则Aa , Aa，,Aa线性相关；12s12s(B) 若a , a，,a线性相关，则Aa , Aa，,Aa线性无关；12s12s(C) 若a , a，,a线性无关，则
4、Aa , Aa，,Aa线性相关;12s12s(D) 若a ,a，,a线性无关，则Aa , Aa，Aa线性无关.12s12s例设A是4阶矩阵，且A的行列式| A| = 0，则A中【(C)】(A) 必有一列元素全为 0；(B) 必有两列元素成比例；(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合(D) 任意列向量是其余列向量的线性组合2.(-1(-2(a设有向量组 A:a =1,a =1,a =21234丿5丿10丿及向量卩=b问a, b为何值时 向量卩不能由a ,a ,a线性表示；123(2)向量卩能由a ,a ,a线性表示，且表示式惟一；123三、解答题例(本题满分6分)设，为方阵A的两个不同特征值
5、，a ,a为A的相应于九的两个线性无 1 2 1 2 1关的特征向量，a a为A的相应于九的两个线性无关的特征向量，证明：向量组a ,a ,a ,a线性无3421234关。证明：设k a + k a + k a + k a 二 0，(a)1 12 23 34 4因为* a 2为A的相应于于 i的两个线性无关的特征向量，a3,a 4为A的相应于于 2的两个线性无关的特征向量，有 Aa = Xa , Aa = Xa , Aa = X a , Aa = X a ,11 121 2333424(a)式左右两端同时左乘A可得，Xikiai+Xa2 +會3 +k4a4 = 0(b)(a) XX x - (
6、b)可得,(X -X )ka +(X -X )ka = 012331244又因为XX为方阵A的两个不同特征值，且a ,a线性无关，可得1234k =k =0同理(a) x尢(b)可得k = k = 02 1 2因此向量组a ,a ,a ,a线性无关。1234例1) (6分)设A为3阶矩阵，a , a为A的分别属于特征值1, 1的特征向量，向量a满1 2 3足Aa =a +a，证明a ,a ,a线性无关；3 2 3 1 2 3证：令 k a + k a + k a = 0，(1)1 1 2 2 3 3贝 I kAa + k Aa + k Aa = 01 1 2 2 3 3于是有k a + k a
7、 + k (a +a ) = 0 (2)1 1 2 2 3 2 3(1)-得 2k a k a = 0,1 1 3 2由a , a线性无关得k = k = 0,1 2 1 3代入(1)得k a = 0，由a主0得k = 0,2 2 2 2故a ,a ,a线性无关.123例(8分)a ,a，,a是齐次线性方程组Ax = 0的基础解系，卩满足AP 0，证明：1 2 sa +P,a +p，a +p,卩线性无关.1 2 s2. (6分)设n阶方阵A满足：r(A) = r .证明：A可以表示成r个秩为1的矩阵之和.解：(1)令k (a +P)+k (a +P)+k (a +卩)+k P = 01 1 2
8、 2 s s整理得k a + k a + +k a + (k+k + +k ) P = 0,1 1 2 2 s s 1 s上式两端左乘 A 得 k Aa + k Aa + + k Aa + (k + k + + k ) A P = 0 ，1 1 2 2 s s 1 s则有(k+k + + k ) Ap = 0, 由 AP 工 0得(k+k + +k ) = 0,1 s 1 s于是有ka +ka +ka =0,1 1 2 2 s s由a ,a，,a线性无关得k = k = = k = 0，从而有k = 0,1 2 s 1 2 s故a +p,a +p，a +p,卩线性无关.1 2 s例若向量g ,
9、g ,g ,g是n元非齐次线性方程组 Ax = b的解向量，那么它们的线性组合 1234k g + k g + k g + k g也是该方程组解向量的充分必要条件是k + k + k + k = 1 ；1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 42设A是n阶矩阵，九和九是A的两个不同的特征值，n ,n是A的属于特征值九的两个线性1 2 1 2 1无关的特征向量, n是A的属于特征值九的特征向量，证明：n ,n ,n线性无关.3 2 1 2 3例1设a ,a，,a为n维空间Rn中的正交向量组，证明：a ,a，,a线性无关.1 2 r 1 2 r令k a + k a + +k a = 0(k ,
10、k，,k e R)，(2 分)1 1 2 2 r r 1 2 r用a t (i = 1,2,r)左乘上式两端得，ik ara + k ara + +k ara = 0(k ,k，,k e R)，1 i 12 i 2r i r 12 r(0, i 丰 j由a ,a，,a为n维空间Rn中的正交向量组知，ara =，12 ri j 1, i = j则有 k = 0(i =，r). (5 分)i因此a ,a，,a线性无关.(6分)12r例设n是非齐次线性方程组Ax = b的一个解,g ,g ,g是对应的齐次线性方程组Ax = 0的基础解0 1 2 3系,证明:(1) n ,g ,g ,g 线性无关;0
11、123(2) n ,g +n ,g +n ,g +n 线性无关;0 1 0 2 0 3 0证: (1)令 kn + k g + k g + k g = 0 ,0 1 1 2 2 3 3用A左乘上式两端得,kAn + k Ag + kAg + k Ag = 0.0 1 1 2 2 3 3则有kAn = 0，由 An = b 主 0 知，k = 0.。00于是有kg+kg +kg =0,1 1 2 2 3 3由g ,g ,g线性无关知，k = k = k = 0.1 2 3 1 2 3因此n ,g ,g ,g线性无关.0123 令kn + k(g +n)+k(g +n), +k(g +n)=0,0 1 1 0 2 2 0 3 3 0整理得 (k + k + k + k )n + k g + k g + k g = 01 2 3 0 11 2 2 3 3由(i)知耳,g,g ,g线性无关,于是得0123(k + k + k + k ) = 0, k = 0, k = 0, k = 0 ,1 2 3 1 2 3则有k=k =k =k = 0,123因此n ,g +n ,g +n ,g +n线性无关.0 1 0 2 0 3 0
